分数阶常微分方程高精度数值方法的理论研究及应用

This project mainly studies the highly accuracy approximation of the Caputo derivative and the numerical theory of fractional ordinary differential equations. Furthermore, the project will give the theoretical conclusions about the construction of scheme, numerical stability and convergence for solving the fractional delay differential equations, the time fractional partial differential equations and the time-space fractional partial differential equations. This project will not only provide some interesting ideas and important results for the numerical methods of the fractional differential equations, but also give some effective algorithms for the practical problems.

本项目主要研究Caputo导数的高精度逼近和分数阶常微分方程的数值理论。进一步，研究分数阶延迟微分方程、时间分数阶偏微分方程及时空分数阶偏微分方程的数值求解，给出方法构造、数值稳定性及收敛性等理论结果。本项目的完成将为分数阶微分方程数值方法的完善和发展提供一些有益的成果和思路，为实际问题提供有效的算法支持。

该项目主要研究分数阶微分方程的数值理论。针对分数阶常微分方程，通过等价积分方程构造了分数阶边值方法、平移乘积积分法和多步配置方法等，分析了相应的收敛性和线性数值稳定性。针对Riesz型分数阶偏微分方程，基于隐式Runge-Kutta方法、线性多步法、一般线性方法以及谱Galerkin方法等，构造了一系列高精度数值方法并给出了相应的最优误差估计。项目共发表SCI论文27篇，培养6名博士和4名硕士。研究成果不但发展了分数阶微分方程的数值理论，而且为相关应用领域提供了有效的算法支持。