块的对应、饱和融合系分类以及两类猜想的研究

In this proposal, we will study some related topics on the Glauberman correspondence of characters, saturated fusion systems and the relationship between the Brauer’s height zero conjecture and the Broué’s abelian defect group conjecture..On the study of the Glauberman correspondence of characters, we will obtain a basic Morita equivalence between the block and its Glauberman correspondent which is compatible with the Glauberman correspondence of characters under the extensions of nilpotent blocks in term of the structure of blocks..On the study of the classification of the saturated fusion systems, we will classify the saturated fusions systems over a special class of finite p-groups through the research of the automorphism of finite p-groups..On the study of the relationship between the Brauer’s height zero conjecture and the Broué’s abelian defect group conjecture, we will focus on a description of the relationship between them under the condition that the defect group is nonabelian.

本项目将围绕块的Glauberman对应、饱和融合系的分类以及Brauer高零猜想和Broué交换亏群猜想之间的关系展开研究。在块的Glauberman对应的研究中，我们将从块代数的结构出发，在幂零块扩张的情形下，得到块和其Glauberman对应块之间的basic Morita等价，并且该等价与特征标的Glauberman对应是相融的。在饱和融合系分类的研究中，我们将通过对一类特殊p-群的自同构群的研究，对此类p-群上的饱和融合系进行分类。在Brauer高零猜想和Broué交换亏群之间的关系的研究中，我们侧重研究这两类猜想在亏群非交换情形下的关系。

本项目研究了三个问题，分别为块的Glauberman对应、饱和融合系的分类以及Brauer高零猜想和Broue交换亏群猜想之间的关系。.在块的Glauberman对应的研究中，我们想在幂零块扩张这个环境下，对已有的块同其Glauberman对应块的basic Morita等价进行修订，期望得到一个与特征标的Glauberman对应相融的basic Morita等价。在项目执行的三年期间，我们在p-扩张情形下，得到了想要的basic Morita等价。此结果以论文形式发表在Communications in Algebra。.在Brauer高零猜想和Broue交换亏群猜想之间的关系的研究中，我们主要是考虑这两类猜想亏群非交换版本之间的蕴含关系。在项目执行的三年期间，我们在basic Morita等价的环境下，得到了这两者之间的蕴含关系。通过对该问题的探讨，我们发现超聚焦子群的结构对块的性质有着很大的影响，并且也得到了一些结论。如果块的惯性商自由作用在超聚焦子群上，在一定条件下，我们得到了块同其Brauer对应块的perfect isometry。对于超聚焦子群是秩为2和3的交换2-群的块，我们完全确定了这类块的Brauer范畴，这也部分解决了本项目中的另外一个研究问题，即饱和融合系的分类问题。并且在一定条件下，我们得到了这类块的单模个数。上述部分结果都以论文形式发表在Journal of Algebra，剩下结果也投稿，目前正在评审中。