融合系分类问题及其特征幂等元研究

In this project, we plan to classify the saturated fusion systems over some special finite p-groups and construct some exotic fusion systems. And we study whether these exotic fusion systems are realizable by p-blocks of finite groups. Second, we want to study the forms of characteristic idempotents of fusion syetems in their local structure. Finally, we study on Burnside rings of fusion systems. Actually, We consider the problem about Brauer goups, the prime ideal spectrums and unit groups of those rings.

在本项目中，我们计划给出一些小阶p-群上的饱和融合系的分类和构造一些奇异融合系，并且考察这些奇异融合系是否可由块融合系实现；然后，我们考察融合系的特征幂等元在融合系局部的表现形式；最后，我们研究融合系上的Burnside环，考察这个环上的Brauer群、素理想谱的连通性、以及这个环的单位群。

在这个项目周期内，我们主要做了下面两个方面的工作：.1. 融合系里面的一个重要的问题是Oliver的 p-群猜想：对任意有限群S，Thompson子群总是包含在Oliver子群中。我们将这个结果往前推进了一步：Thompson子群总是包含在Oliver子群中当且仅当Thompson子群包含在X_1(S)，其中X_1(S)真包含Oliver子群的群（见[9]）。.2. 与Burnside环里的幂等元相关的问题有一个Bouc与Thévenaz的B-群猜想，我们证明对一类非可解的群而言，Bouc与Thevenaz的B-群猜想仍然成立（见[10]）。进一步地，由于该猜想最主要的问题是计算m_{G, N}这个有理数，我们给出了这个有理数的一个拓扑解释（见[18，19]）。.其中我们的工作[9, 10]均已经发表在《代数杂志》上。