AGT猜想与共形块构造

AGT猜想,ref.[1],将2维共形场理论与4维N=2超对称规范理论联系起来，对我们更好地理解刘维场理论，超弦，膜和M理论以及它们的非微扰性质有着极其重要的意义。. AGT猜想，特别是瞬子求和与共形块的比较，建立在Nekrasov配分函数与共形块级数展开前几级的验证之上。对这类特殊的4维N=2超对称规范理论，即linear quiver gauge theories，的构造和对偶性质的研究文献较多，而对2维共形块的构造与研究很少见之于文献。而我们则一直致力于2维共形块的构造与研究，特别是与之相关的Jack多项式的研究工作。我们发现，Jack多项式既与Virasoro代数及Kac行列式有着紧密地联系，又与Nekrasov配分函数求和中的因子直接相关。再结合（ref.[2-3]）我们已经能够构造出所有与之相关的共形块，因而非常接近于证明AGT猜想。相关文章将于近期投放到arXiv上。

009年6月，Alday, Gaiotto和Tachikawa三人提出了著名的AGT猜想。也就是四维N=2超共形U(N)理论对偶于A_{N-1}Toda理论耦合上一个U(1)场。这种四维-二维对应是非常不平凡的。尤其是四维理论的瞬子贡献对应于Liouville/Toda共形块这种对偶关系，它深刻揭示了共形块本身具有非常紧凑的统一表达式。这意味着人们可以一劳永逸的构造出Liouville/Toda共形块来。我们发现此U(1)*Liouville理论对应可积系统是一个相互作用的双Calogero-Sutherland模型，相互作用是三角化的，那么可以很容易证明，此双CS模型的可积性继承自CS模型，而且是严格可解的。其解在U(1)*Liouville理论中就是完整的AFLT态！而这样的方案实际上对于单个的ＣＳ模型也是可以实现的，它完全可以从自由费米子模型的三角化来得到。我们在中深入研究了这样的一个系统，发现Jack态的确可以用自由费米子的本征态--Schur态利用三角性来构造。这表明，三角化方案是构造可积系统的一种强有效的工具。