特殊情形下块与其 Brauer 对应之间关系的研究

The proposal will be carried out from the following aspects.Firstly, we investigate 2-blocks with abelian defect groups, use the structure theorem of 2-blocks with abelian defect groups in simple groups and try to verify the inductive conditions for the blockwise version of the Alperin weight conjecture. Secondly, we investigate the reductions of both Rouquier's conjecture and Broue's conjecture to simple groups at the level of characters. Lastly, we investigate 3-blocks with elementary abelian defect group of order 9 and try to prove that blocks and their Brauer correspondences are perfect isometric in this case.

本项目将从以下三个方面展开研究：研究亏群交换的2-块，从单群上亏群交换的2-块的结构定理出发，试图验证这种情形下块形式的Alperin权猜想的约化条件；研究弱的Broue交换亏群猜想和特征标层面的Rouquier猜想约化的相关问题；研究9阶初等交换亏群的块，试图证明该块与其Brauer对应是perfect isometric。

有限群的表示理论主要研究块的整体结构与局部结构的关系。Broue 交换亏群猜想和块形式的Alperin-权猜想是有限群表示的两个重要问题。本项目只要围绕这两个问题展开研究：我们研究了亏群交换的2块，检验了某些情形下块形式的Alperin-权猜想的约化条件；我们正在撰写关于亏群交换且超聚焦子群循环情况下，Broue 交换亏群猜想的证明，基本已撰写完毕。目前，对于2块Alperin-权猜想已经得到了证明，我们采用了perfect isometry的方式去证明约化条件，一定程度上说明了完美等距同构在某些情形下与自同构是可以兼容的。目前，Broue 交换亏群猜想成立的块已知的较少，我们正在撰写的关于Broue交换亏群猜想的文章，是对循环块结果的推广，从超聚焦子代数的角度出发，将无限型表示转化为有限型表示去解决问题，有一定的理论意义。