G-期望下的BSDE和随机最优控制理论及其在金融中的应用

The G-expectation theory can provide powerful instruments to handle contingent claim valuation and portfolio selection problems under model uncertainty. There are many open questions in the G-expectation theory itself as well as in its application. In this project, we will firstly find the proper norms and get the apriori estimates of general G-BSDEs(when the generators f and g contain term K or eta), and prove the corresponding existence and uniqueness theorem of the solutions of the G-BSDEs and the comparison theorem. Secondly, we study the stochastic optimal control theory, the dynamic programming principle and the HJBI equation satisfied by the value function, which will be used to solve portfolio selection problems in financial market with model uncertainty. Finally, we apply the G-BSDE theory to solve the contingent claim valuation and risk measurement problem, especially for path dependent contingent claims, and incoporate the utility function into consideration by proposing the maximum robust expected utility indifference pricing method. The results of this project not only can promote the development of the G-expectation theory and the related fiancial theory, but also have high practical application value.

G-期望这一崭新的理论体系为研究模型不确定情况下的金融问题提供了新的有 力数学工具，G-期望理论本身及其应用都有很多有意义的问题有待解决。本项目将首先寻找合理的范数以得到一般情况下(生成元f,g含有K或eta时)G-BSDE解的先验估计，从而得到G-BSDE解的存在唯一性定理和比较定理；研究G-期望下的随机最优控制理论，值函数满足的动态规划原理和偏微分(HJBI)方程，并将其应用于解决模型不确定情况下投资组合选择问题；应用G-BSDE理论研究模型不确定情况下金融资产定价和风险度量问题，特别是路径依赖型未定权益的定价和风险度量问题，并通过提出最大稳健期望效用无差异定价方法把效用函数纳入模型。项目的研究结果不但能够推动G-期望理论和相关金融理论的研究，而且具有较高的实际应用价值。

模型不确定情况下的金融资产定价和风险度量等问题的研究需要新的数学工具，G-期望是研究波动率不确定下金融问题而提出的理论，它能够为研究模型不确定情况下的金融问题提供新的有力数学工具，而且G-期望理论本身及其应用都有很多有意义的问题有待解决。在上述背景下，本项目执行期间取得以下成果：（1）研究了G-BSDE解的相关结论，把G-期望理论及相关计算推广到更广的空间中。研究了带Markov转换的BSDE，其中的噪声干扰包括布朗运动和Poisson随机测度，证明了这类方程适应解的一个存在唯一性结果和解关于参数的连续依赖性，并给出了两个比较定理。研究了倒向随机微分方程的一类非零和微分对策问题及其在养老金保险管理中的应用。（2）研究了G-期望下的随机最优控制理论。包括G-期望下依赖于右连左极路径的倒向随机微分方程和相应的偏微分方程, 给出了依赖于右连左极路径的完全非线性偏微分方程黏性解的定义, 证明了相应的动态规划原理, 并进一步证明了动态规划原理的值函数为相应的HJB方程的黏性解。还研究了跳扩散情况下随机微分对策的最大值原理和动态规划原理之间的关系。研究了非对称信息下主从随机微分对策。进一步研究了一类带时间延迟的递归效用随机最优控制问题。（3）研究了G-BSDE在金融资产定价和风险度量中的应用。包括波动率不确定情况下亚式期权的定价和波动率不确定情况下带跳扩散过程的平均值期权的定价。还进一步研究了一般未定权益的对冲和定价问题。相关研究成果对倒向随机微分方程和随机最优控制理论的研究和应用具有重要推动作用。能够为研究波动率或漂移率不确定情况下资产定价和风险度量提供理论基础和有力数学工具。目前这方面研究，特别是国内相关研究还非常少，而模型不确定性（模糊）的存在对实际金融市场具有重要影响，所以相关研究将具有广阔的应用前景。