李理论中的Schur-Weyl 对偶

This is a proposal on the representation theory of Lie algebras, quantum groups and associative algebras and their interaction. We will focus on the following problems: (1) Study the graded an non-graded structures and representation theory of Birman-Murakami-Wenzl algebras and their cyclotomic analogues, (2) establish some relationships between the categories of general linear Lie superalgebras and those of affine and cyclotomic walled Brauer algebras (3) study the decomposition of tensor products of certain modules for quantized general linear supergroups. These are some fundamental problems in the representation theory. The resrarch will lead to the developments of the representation theory of Lie algebras, quantum groups and associative algebras and their interactions.

本项目研究李代数、量子群与结合代数的表示理论及其交叉。主要内容包括：研究李理论中出现的有限维代数的结构与表示理论,涉及Birman-Murakami-Wenzl 代数、分圆Birman-Murakami-Wenzl代数的(阶化)结构与(阶化)表示理论；研究仿射walled Brauer代数、高阶分圆walled Brauer代数的模范畴与一般线性李超代数的模范畴之间的内在联系；研究量子一般线性超群的一些特殊表示的张量积的分解等。这些均是表示论中的基本问题，其研究结果将极大地促进李代数、量子群和结合代数的表示论发展和交叉。

本项目主要研究了与李代数、代数群、量子群有关的有限维代数的结构与表示理论。 在项目执行期间内， 得到下列研究成果：引入了仿射walled Brauer代数和它的分圆商代数， 建立了一般线性李超代数的有限维模范畴与level two 分圆walled Brauer代数的表示范畴之间的桥梁。 作为应用，给出了一般线性李超代数中的一类混合张量积所含最高权向量的分类；2. 通过单位根处典型量子群的有限维模范畴域带有特殊参数的Birman-Murakami-Wenzl代数之间的Schur-Weyl对偶， 完全解决了定义在复数域上的Birman-Murakami-Wenzl代数的分解数问题；3. 系统研究了l量子walled Brauer代数的表示理论，给出了这类代数的不可约表示的分类， 通过单位根处量子一般线性群的不可分解Tilting模的结构， 确定出量子walled Brauer代数的不可约表示在cell表示中的重数， 从而计算出定义在复数域上的量子walled Brauer代数的不可约表示的维数；4. 引入了仿射Brauer范畴以及它的商范畴， 建立了分圆Nazarov-Wenzl代数与B、C、D型李代数的抛物范畴O之间的联系， 从而利用Tilting模的特征标公式，解决了定义在复数域上的分圆Nazarov-Wenzl代数的分解数问题；5. 引入并研究了仿射walled Brauer-Clifford超代数与它们的商代数， 建立了Q型李超代数与这些结合超代数之间的联系；6. 通过一般线性李代数与一般线性李超代数的抛物范畴之间的精确的关系， 给出了用不同方式刻画的退化分园Hecke代数的不可约表示之间的同构。 这个结果精确地刻画出关于退化分园Hecke代数的广义Mullineaux对合映射。此外，我们还得到另外一些结果，包括关于Brauer范畴代数的K群的范畴化， 仿射Kauffman范畴与分园Kauffman范畴、量子辛、正交群的抛物范畴O与分园Birman-Murakami-Wenzl代数之间的对偶。 这些研究成果尚未发表， 将在项目负责人的下一个面上项目中详细汇报。