基于几何群论与图灵机观点的分形研究

本项目研究几何群和图灵机的相关分形：① 利用群上Cayley图的调和分析、拟等距(quasi-isometry)、connect-the-dots、Gromov收敛等技术，研究(Gromov提出的)双曲群、(Thurston提出的)自动机群的分形边界的几何结构，探索其分形边界的拟对称分类和Lipschitz分类；② 深入探索图灵机的可识别语言与分形中的自相似集的内在联系，研究NP hard问题可视化嵌入的分形维数估计，以及分形几何中的不可判定问题。本项目在分形几何中引入了新的研究视角，其进展也将推动几何群论和计算机科学的相关研究。

本项目研究期间，我们开展了相应的研究：.（1）从算法角度重新考察了自相似分形的几个关键问题：维数、开集条件、强分离条件，并对一类重要的自相似分形（对应离散参数），将分形问题转化为图论问题，从而得到了相应的多项式算法。对Blum-Shub-Smale机器（对应连续参数），我们得到了算法的不存在性。.（2）基于双Lipschitz等价或拟Lipschitz等价得到了不同版本的分形的刚性定理：有向图集、Moran集、（拟）Ahlfors-David正则集。例如，我们得到一个分形集拟Holder等价于符号空间的充要条件：拟Ahlfors-David正则性、拟一致不连通性。.（3) 此外，还研究了无标度网络、量子维数、截集等问题。. 期间，课题组发表和录用论文31篇（其中25篇SCI），并举办了全国分形几何与动力系统学术研讨会（2013，宁波）。