分形测度的离散逼近与最优分划的几何结构

The discrete approximation problem for measures is to approximate a given probability measure with discrete probability measures of finite support in Wasserstein metrics. The aim of discrete approximation is to help people to treat real-world problems by using computers. In this project, we will deeply investigate the geometric structure of optimal discrete measures; based on this, we study the asymptotic uniformity of the contributions made by each supporting point. Once such uniformity is confirmed, people will be able to search for asymptotic optimal measures more conveniently. It is known that, scaling rates in discrete approximations are closely connected with various fractal dimensions. Therefore, we will explore the connections between the quantization problem of a measure and its fractal properties. In particular, we will also study self-affine measures, Moran measures and invariant measures of condensation systems. As integrals for a discrete measure is usually easy to estimate, this project will hopefully lead to significant extensions of results in numerical integrations.

测度的离散逼近问题是用有限支撑的离散测度在Wasserstein度量下逼近给定的测度。离散逼近的目的是方便人们利用计算机技术处理实际问题。本课题拟深入研究最佳逼近的离散测度的支撑点集的几何结构，由此分析各个支撑点对离散逼近误差的贡献的渐近均匀性。一旦此种均匀性得到证实，人们将能更方便地寻找渐近的最佳逼近测度，而渐近最佳逼近测度亦能反映出原测度的分布性质。研究结果表明，离散逼近的标度率与分形中各种维数密切相关，因此我们亦将探索测度的离散逼近与其局部性态及其支撑的分形性质之间的本质关系。作为应用，我们将集中研究莫朗测度、自仿测度以及凝聚系统对应的不变测度的离散逼近问题。由于离散测度的积分容易估算，本课题的研究结果在测度积分的数值计算等数学课题中的应用极有希望得到拓展。

概率测度的离散逼近问题起源于信息论及图像压缩、数据处理等工程技术，严格的数学理论研究兴起于近二十年。本课题综合运用了割、围、添三步走的方法，通过仔细分析测度支撑的几何结构，构造合适的辅助测度，结合前推-拉回的思路，深入研究了支撑在Moran-型分形集上的测度、凝聚系统的不变测度（即非齐次自相似测度）、Bedford-McMullen地毯上的自仿测度，确定了其渐近量子化性质，包括量子化维数的确切表达式以及上、下量子化系数的正有限性。我们对多类测度证明了Gersho猜测的弱形式。我们得到了下列结果：.1.确定了Markov-型测度的量子化维数的确切值，给出了上、下量子化系数正有限的充分必要条件；在Markov-型测度的上、下量子化系数为无穷时，确定了其量子化误差的渐近阶；在转移矩阵不可约的条件下，确定了Markov-型测度关于几何平均误差的量子化维数，并证明了此时上、下量子化系数的正有限性。.2.分别在开集条件和非齐次开集条件下证明了两类迥异的非齐次自相似测度关于几何平均误差的上、下量子化系数的正有限性。.3.在一般情形下对Bedford-McMullen地毯上的自仿测度，证明了其量子化维数的存在性并给出了其确切表达式；证明了Bedford-McMullen地毯上的自仿测度的上、下量子化系数的正有限性；在强分离条件下证明了Bedford-McMullen地毯上的自仿测度关于几何平均误差的上、下量子化系数的正有限性。.4.对一维直线上的Moran-型测度、任意维的Ahlfors-David测度及高维空间中的Moran集上的加倍测度证明了Gersho猜测的弱形式。. 项目提出并发展了割、围、添方法和前推-拉回的思路，为研究测度的离散逼近问题提供了框架性的方案。相关结果或可为信息论及图像压缩、数据处理等工程技术提供理论支撑或方法借鉴。