关于椭圆Sitnikov问题中周期运动的稳定性研究

Stability is one of the most basic and important problem when the people study various dynamical systems. Following the emergence of man-made objects, the restricted N-body problems have attracted a great deal of attention. However, it is hard to study stability of motion. Though the Sitnikov problem is one of the most simply model in the restricted three-body problem, there are very few research results on the stability of motion. In this project, we will study stability of the periodic motion in the Sitnikov problem. By considering the eccentricity as the bifurcation parameter and applying the fixed point theory of the poincaré map, we will study linear stability of periodic motion of elliptic Sitnikov problem. Furthermore, applying the Birkhoff normal form and the Moser twist theorem, we will study Lyapunov stability of periodic motion of elliptic Sitnikov problem. There will be a new breakthrough on stability theory of periodic motion of conservative system defined by the Lagrangian equation or the Hamiltonian system in the project. Moreover, it is believed that these results have important significations and practical values for design and control of satellite orbital motion in the field of aeronautics and astronautics.

稳定性问题是人们研究各类动态系统所面临的最基本最重要的问题之一，伴随着人造天体的出现，越来越多的研究关注限制性N体问题，然而其运动稳定性一直是研究的难点。即使限制性三体问题中最简单的模型-sitnikov问题也不例外，其运动稳定性的研究成果很少。本项目以椭圆型Sitnikov问题为模型，研究其周期解的稳定性问题，主要内容包括：把椭圆离心率作为分岔参数，应用Poincaré回归映射不动点理论探究椭圆型Sitnikov问题中周期运动的线性稳定性；应用Birkhoff规范型和Moser扭转定理探究椭圆型Sitnikov问题中周期运动的Lyapunov稳定性。通过本项目的研究，对于由拉格朗日方程或哈密顿系统定义的保守系统，周期运动的稳定性理论将实现一定的新突破；本项目研究所获得的理论结果将对航空航天领域中飞行器轨道运动的设计与控制问题提供重要的理论依据和参考价值。

牛顿N-体问题中周期解的稳定性一直是天体力学中的难题之一。本项目以椭圆型Sitnikov问题作为研究对象，探究了有关非定常周期解的稳定性问题。由于椭圆Sitnikov问题的方程是一个半自由度的哈密顿系统，因此本项目从一个自由度的自治拉格朗日方程入手，应用Hill 方程理论，构建了从自治拉格朗日方程抛物型周期解中分岔出的非定常周期解的线性稳定性的判定准则，并进一步得到了线性稳定和不稳定性依赖于扰动项的时间频率。该理论结果在拉格朗日方程或哈密顿系统定义的保守系统中周期运动的线性稳定性理论上取得了一定的新突破，同时也为天体运动稳定性问题的研究提出了一些新思路和新方法。另外，本项目应用均值理论，得到了一类m-阶微分方程中T-周期解的存在性以及该类周期解的线性稳定性和不稳定性，推广了二阶微分方程中关于周期解的一些理论结果。基于本项目研究所获得的理论结果，将对航空航天领域中飞行器轨道运动的设计与控制问题提供一些重要的理论依据和参考价值。