关于周期轨道的若干研究

The existence and stability of periodic orbits are important contents in celestial mechanics. Periodic orbits are the best way for us to understand the N-body problem, but the existence proofs and calculations of complex periodic orbits are considerably difficult, and the relative research is still difficult. The previous work of the applicant includes the proof on the continuation of the periodic orbits, the proof on the existence and linear stability of relative equilibria, and the analysis and computation of the first order long period system. Based on previous work, the applicant will do a further study on periodic orbits. The project is about the calculation of the three dimensional periodic orbits, proof on the vertical stability of some resonant periodic orbits, and the construction of the periodic orbits of the second species, and so on.

周期轨道的存在性和稳定性是天体力学研究的重要内容。周期轨道是我们理解N-体问题的最好途径，但复杂周期轨道的存在性证明和计算都比较困难，相关方面的研究仍是难题。本项目申请人前期工作有关于周期轨道的延拓证明、相对平衡点的存在性和线性稳定性证明、一阶长周期系统的分析和数值计算等。在前期工作基础上，申请人将进一步开展周期轨道方面的研究，研究关于三维周期轨道的计算、共振周期轨道的垂直稳定性分析以及第二种周期轨道的构建等。

基于天体力学摄动理论、定性理论等，项目组对周期解及中心构形问题做了研究。考虑空间圆型限制性三体问题，一个大天体为扁球体，另一个天体在扁球体赤道平面上运动，小天体在扁球体附近运动，证明了该问题存在双对称周期轨道。对应的Hill问题也存在双对称周期解。考虑限制性的(1+4)-体问题的相对平衡解，对两种小卫星质量的情况作了分析推导和数值计算工作，也考虑了平面和空间的嵌套中心构形的存在性问题。调研了周期解的分类、分析和数值延拓理论，有助于更好地理解实际天体运动理论、深空探测器轨道设计理论等。推导了扁率摄动对二体问题运动的影响，实际天体都是有形状的，考虑形状摄动的力学模型的周期解问题有助于研究小行星探测、行星卫星探测等轨道设计工作。通过辛尺度变换引入小参数，采用基于庞加莱-德洛内根数的平均化变换来约化一阶摄动系统，对微分方程作泰勒展开并求周期性条件，将基于不动点定理的延拓方法用于周期性条件得以延拓已知的双对称周期解。这对研究其它力学模型的周期解问题具有方法借鉴意义。此外，通过研究(1+4)-体问题相对平衡解以及嵌套中心构形问题，能更好地理解环状天体的运动问题。