N体问题中两类特殊周期轨道的存在性和稳定性

近年来，变分法以及Maslov型指标迭代理论的引入为N体问题的研究注入了新的活力。本项目将致力于运用以上两种方法以及Roberts的对称分解方法处理两类特殊的周期轨道的存在性及稳定性：第一类是三维空间中具有等腰三角形构型的等质量的三体问题中的周期轨道，它们的存在性已经由加拿大数学家Dan Offin[14]给出，但是这类轨道中每个旋转角度对应的周期解的稳定性至今仍然不清楚，本项目将致力于其稳定性的研究；第二类是二维空间中四体问题的含碰撞奇点的周期轨道，由申请者在2009年首次通过计算机发现，其存在性和稳定性的理论证明工作将在本项目中完成。本项目中提到的这两类轨道很具有代表性：第一类是三维空间中的对称周期轨道，是迄今为止数学家和物理学家们知道的为数不多的三维空间的三体的周期轨道之一；第二类是包含碰撞奇点的对称周期轨道，对它的研究将有助于我们把上述经典的方法推广到更多含奇点的轨道中去。

本项目是研究N体问题中两类特殊周期轨道的存在性，稳定性以及其他一些性质。研究成果初步达到计划期望。在对第一类轨道的研究中，我们发现了很多预料之外的信息，另一方面我们也从数学上给出了相应的理论解释。关于第二类碰撞轨道的研究，我们从新的角度给出了它的存在性证明，但是仍与我们的预期有一定差距。目前已在JMAA上发表2篇论文（SCI），同时在Involve上有1篇论文被接受，另外还有4篇论文正在审稿阶段。