全局时滞引起的模式生成及其模式选择研究

Turing pattern is a kind of popular phenomenon arising from .the nonlinear dynamics in the fields of Physics, Chemistry and Biology. In this project the global delay is introduced to the population models. We show that under some parameter conditions the global delays induce the Turing patterns, which explains the inhomogeneous density of the species in some closed ecosystem. Firstly, by analysizing both local and global stability of the positive equilibrium, we give the disperse relation and the Turing parameter space. Secondly, by using a Hopf bifurcation and Leray-Schauder degree theory, we prove the existence of the non-constant positive solution for the corresponding steady state problem, which is reduced to an elliptic equations. Finally, by employing the numerical simulations from the finite volume method, we illustrate all types of patterns, such as striped pattern and spotted pattern, to study both the role of the global delay on the seletion of the type of the pattern and the stability of the Turing pattern. We aim to find out the critial value of the amplitude for the initial data. The study of the above problems, which function as the frontier for the fields of Biomathematics and PDE, give a deep insight into the nonlinear phenomenon in the nature.

Turing模式普遍存在于物理、化学、生物等领域的非线性动力系统。本项目研究具有全局时滞的种群动力学模型，证明在某些参数条件下全局时滞能够导致Turing模式生成，从而解释封闭生态系统中种群空间分布不均匀的现象。首先分析正平衡点的局部稳定性和全局稳定性，给出Turing模式的色散关系和Turing参数空间；然后利用Hopf分支理论以及拓扑度方法，研究相应模型的稳态问题，即椭圆方程组非常数正解的存在性；最后应用有限体积数值计算方法，模拟出不同模式（比如条纹或者圆点）的斑图，研究全局时滞对于模式选择的影响，并利用大量的计算机数值模拟实验，研究Turing模式关于初始值的稳定性。每次实验对初始值取不同振幅，找到Turing模式发生时的振幅临界值。这些问题属于当前生物数学和偏微分方程的前沿研究领域，展开对它们的研究有助于加深理解和认识自然界中的非线性现象。

在反应扩散系统中，均匀平衡态会在扩散的作用下失稳，并自发产生空间规则的图纹。这个从无序的初始值在扩散作用下自组织形成有序斑图的过程称为斑图形成，普遍存在于物理、化学、生物等非线性动力学系统中。本项目研究内容是建立了具有全局时滞的种群动力学模型，证明在某些参数条件下全局时滞能够导致图灵斑图生成，从而解释封闭生态系统中种群空间分布不均匀的现象。先分析系统正平衡点的局部稳定性和全局稳定性，找到生成图灵斑图的参数空间，以及图灵斑图的波长与时滞的色散关系，为研究图灵斑图提供基础。然后根据偏微分方程特征值理论，我们找到使得正平衡点特征值为0的参数值，该分岔点即为斑图生成的激发点。当时滞在图灵激发点附近时，相空间局部失稳导致系统自组织生成规则的图灵斑图。反应扩散系统在图灵分岔点附近的解能够以正态模为基进行分解，我们找到每个模的振幅，即解在模空间的坐标。在分岔点附近，振幅的稳定性是由慢时间尺度所决定的，因此慢模是主动模。我们将时间分解成快时间尺度和各阶慢时间尺度的总和，得到振幅的定量关系，推导出模随时间演化的方程。对于系统在正态模空间下的振幅方程，所有主动模振幅的范数是相同的，即图灵波数目。每个振幅可以用模和相位角来表示，对于振幅方程使用微扰分析，我们可以得到规则的空间斑图的稳定性。如果空间斑图失稳，超出了目前的分析工具适用范围，我们需要应用数值模拟进行进一步的研究。最后应用有限体积法做方程的数值逼近，计算出斑图的形状，研究全局时滞对于模式选择的影响，并利用大量的计算机数值模拟实验，研究图灵斑图与初始值以及边界值的关系。本项目的研究结果是全局时滞能够导致种群动力学系统生成Hopf分岔，Hopf分岔导致系统生成平面波，如果在平面波上引入一个点缺陷， Hopf分岔导致系统生成空间有序的螺旋波。本项目的选题处于数学和生态学的交叉领域，不但具有实际的生态学的背景而且具有理论研究价值。本项目对偏微分方程理论研究起到促进作用，同时本项目也提出了新的偏微分方程数值计算方法。本项目的最大的特色是我们有原创的数值计算方法，而且同时进行数学理论分析和数值模拟，契合了非线性科学发展的方向，对实际生态学研究也具有理论参考价值。