时滞系统若干全局动力学问题的数值算法与实验研究

时滞系统因其普遍性和复杂性受到自然科学与工程技术等众多领域的广泛关注，然而目前人们对时滞系统的研究大多仍集中于系统的局部动力学方面，如平衡点的稳定性，Hopf分叉，Double Hopf分叉等，也开展了具有某种全局意义的大范围Hopf分叉的研究，这些研究给出了时滞系统的稳定性判据，分析了周期振荡和概周期振荡产生的原因，揭示出系统多周期解共存的机理，然而对于时滞系统吸引域的分形边界，不变流形的空间结构，同异宿轨道的存在性及分叉导致的混沌行为等全局动力学问题仍知之甚少。由于时滞系统全局理论分析的困难性以及计算机性能的飞速发展，本项目旨在以一定的理论分析为基础，着重研究包括时滞系统吸引域的刻画、不变流形的计算、同异宿轨道的跟踪等在内的全局动力学数值分析方法，发展高效实用、通用可信的数值算法，并通过电路实验对数值分析结果进行相应的验证，为揭示时滞动力系统的复杂性与多样性提供强有力的实用计算工具。

时滞系统因其普遍性和复杂性受到自然科学与工程技术等众多领域的广泛关注，然而目前人们对时滞系统的研究大多仍集中于系统的局部动力学方面，如平衡点的稳定性，Hopf分叉，Double Hopf分叉等，也开展了具有某种全局意义的大范围Hopf分叉的研究，这些研究给出了时滞系统的稳定性判据，分析了周期振荡和概周期振荡产生的原因，揭示出系统多周期解共存的机理，然而对于时滞系统吸引域的分形边界，不变流形的空间结构，同异宿轨道的存在性及分叉导致的混沌行为等全局动力学问题仍知之甚少。本项目旨在以一定的理论分析为基础，着重研究包括时滞系统吸引域的刻画、不变流形的计算、同异宿轨道的跟踪等在内的全局动力学数值分析方法，发展高效实用、通用可信的数值算法，为揭示时滞动力系统的复杂性与多样性提供强有力的实用计算工具。本项研究的重要成果是揭示了时滞反馈控制系统的初始状态空间的有限维本质，从而提出用有限维物理状态空间描述无穷维动力系统的吸引域的方法，并应用于若干非线性时滞反馈控制系统全局吸引域的刻画。此项科学发现的意义在于对于实际的时滞反馈控制系统而言，完全可以不受时滞系统在数学上具有无限维状态空间的影响，而直接对有限维的物理初始状态进行分类计算，以得到不同物理初始状态对系统稳态运动的影响。