时滞微分系统的全局稳定性和全局Hopf分支研究

The objective of this proposal is to investigate: (1) global stability and bifurcation analysis of differential equations with infinite distributed delays and multiple delays; (2) global Hopf bifurcation analysis, that is, global existence of bifurcated periodic solutions, for differential systems with delay-dependent parameters; (3) global Hopf bifurcation analysis of reaction-diffusion equations. Dynamical systems induced by delay differential equations are infinitely dimensional. Global stability and global bifurcation analysis of delay differential equations have always been very challenging. This proposed research will analyze root distribution of transcendental equations with delay-dependent parameters, establish existence and non-existence of periodic solutions of high-dimensional systems, and prove uniform boundedness of periods of periodic solutions bifurcated from Hopf bifurcations. Based on the principle investigator’s publications and experience, through this proposed research, new methods, techniques and innovative ideas are expected to be developed to generalize and expand stability and bifurcation theory of differential dynamical systems. The anticipated results will greatly contribute to the advancement of applied dynamical systems and will have broad applications in biological and ecological systems, and control engineering.

本项目主要研究时滞微分动力系统理论的几个问题，内容包括：（1）具有无限分布时滞和多时滞的微分方程的全局稳定性和分支分析；（2）参数依赖于时滞的微分系统的全局Hopf分支分析，即分支周期解的大范围存在性；（3）时滞的反应扩散方程的全局Hopf分支分析。时滞微分方程生成的动力系统是无穷维的，其全局稳定性和全局分支分析的研究一直以来都很有挑战性。本研究将涉及到分析系数依赖时滞的超越方程根的分布情况，高维系统周期解的存在性和不存在性，及证明Hopf分支出来的周期解周期的一致有界性。基于项目申请者在该领域已有的工作和经验，本项目的完成将可以提供新的方法和新的思想来研究和完善微分动力系统稳定性和分支理论。所得结果会大大推动微分动力系统特别是时滞微分系统在生物和生态系统、控制工程等领域的广泛应用。

本项目将时滞、多种传播途径及空间异质等因素考虑到病毒感染模型中，将年龄结构和多个时滞考虑到单种群增长模型中，非单调的感染发生率、时滞和非局部扩散考虑到传染病模型中，利用时滞微分方程和时滞反应扩散方程建立数学模型。从数学建模、动力学理论分析及生物应用三个方面研究时滞、空间扩散、多种传播途径及非单调的感染发生率对模型动力学行为的的影响。..本项目的主要研究成果理论上完善了微分动力系统的稳定性和分支理论，解决了一类具有无限分布时滞的病毒感染模型的全局稳定性问题；给出了参数依赖于时滞的时滞微分方程的有界全局Hopf分支定理，并将全局Hopf分支理论推广到时滞反应扩散方程中；解决了一类半退化空间异质的病毒感染模型的基本再生数的计算和全局稳定性结果；发展并完善非单调传染病模型的的行波解理论。在应用上，通过分析病毒感染模型的稳定性、稳定开关、分支、多个周期解的共存性、环面及混沌等动力学行为，揭示了在病毒感染过程中细胞增长函数的动力学性质是导致系统解的周期震荡现象的主要原因。进一步结合现实数据，利用最优控制、敏感度分析, 数值模拟及数据拟合等计算方法，估计病毒感染的关键参数值，研究抗逆转录病毒疗法如何才能有效地控制病毒感染，分析治疗的持续时间、药物疗效、免疫应答过程的时滞及治疗成功率之间的关系，从而更好的理解疾病的发生、发展及不同的药物治疗策略效果，能够有效地指导抗病毒治疗药物的开发。通过研究一类非单调传染病模型的行波解理论，探讨最小波速与模型参数之间的内在联系，数值上计算了传染病的空间传播速度，预测疾病爆发强度，并评估对传染病的干预措施及时滞对疾病防御和控制措施的影响。对单种群增长模型的动力学研究可以用来解释和预测生物种群的增长动态，包括害虫控制、预防物种灭绝和维持生物多样性和生态系统的可持续发展。