一类拟线性椭圆方程解的渐近性态与稳定性研究

Partial differential equations have been extensively used in many fields, the deep properties of a large number of natural phenomena can be deduced from such equations. Radial solutions are some particular solutions of partial differential equations, which play important roles in investigating non-radial solutions of partial differential equations. Up to now, the research concerning radial solutions for some quasi-linear elliptic equations are extremely imperfect. In particular, it is necessary to further discuss the asymptotic behaviors and stability of radial solutions. By the method which can improve the accuracy of the asymptotic behaviors step by step to the desired extend and Qualitative theory of ordinary differential equations, we plan to study the asymptotic behaviors of the radial solutions for some quasi-linear elliptic equations near the origin and infinity, respectively. Moreover, by virtue of the asymptotic behaviors of the radial solutions at infinity and the method of sub/super solutions, we would like to inquire the asymptotic stability and weakly asymptotic stability of the steady states for some quasi-linear parabolic equations in some weighted function spaces. It is expected to obtain more precisely asymptotic behaviors of the radial solutions near the origin and infinity under different situations and stability of the steady states for some quasi-linear parabolic equations. It is possible to utilize the asymptotic behaviors to investigate the existence and nonexistence, symmetry and structures of solutions for more generalized quasi-linear elliptic equations. In addition, the result of stability part will be helpful to explore the eigenvalue problem for some quasi-linear operators.

非线性偏微分方程在实际中有着广泛的应用，很多自然现象的深层次性质都可以通过数学手段从方程中推导出来。径向解作为偏微分方程的一类特殊解，对研究偏微分方程的非径向解起着非常重要的作用。目前关于拟线性椭圆方程径向解的研究还不够完善，尤其关于径向解的渐近性态和稳定性等诸多问题仍然需要进一步的探索。本项目拟运用一种初始估计粗糙，但是能够逐步改进精确性直至达到所要求精度的渐近展开的方法与常微分方程的定性理论，研究一类拟线性椭圆方程的径向解在零和无穷远处的渐近性态。另外应用径向解在无穷远处的渐近性态与上下解的方法，研究对应的拟线性抛物方程的稳态解在某些加权函数空间中的渐近与弱渐近稳定性。预期能够得到在不同情况下，径向解在零和无穷远处的精确渐近展式以及拟线性抛物方程稳态解的稳定性。研究结果可望为更一般的拟线性椭圆方程解的存在性与非存在性、对称性、解的结构以及拟线性算子特征值理论的研究提供理论支撑。

非线性偏微分方程在实际中有着广泛的应用，很多自然现象的深层次性质都可以通过数学手段从方程中推导出来。径向解作为偏微分方程的一类特殊解，对研究偏微分方程的非径向解起着非常重要的作用。本项目全面系统地研究一类依赖空间变量的拟线性椭圆方程径向解的存在性、唯一性、在零和无穷远处的渐近性态以及相对应的拟线性抛物方程的稳态解在某些加权函数空间中的稳定性等一系列问题。. 本项目首先研究了Henon方程三类径向正解的存在性、唯一性以及两类解在零处的渐近行为。事实上，Henon方程的径向正解可以分成三类：M型解（在零处是奇异的），E型解（在零处是正则的）和F型解（其存在性区域远离零点）。对于M型解和E型解，我们采用了一种初始估计粗糙，但是能够逐步改进其精确性直至达到所要求的精度的循环迭代方法，结合常微分动力系统的理论，全面地得到了不同情况下，这两类解在零处的精确渐近行为。其次，本项目对一类拟线性椭圆方程的三类正解：M型解（在零处是奇异的），E型解（在零处是正则的）和F型解（其存在性区域远离零点），研究了这三类解的存在性、唯一性以及渐近行为。与Henon方程相比，这三类解的研究难度更大，在零处的渐近行为更加复杂。我们找到一种新的变换，使得此类拟线性椭圆方程的径向正解可以转换成Lotka-Volterra系统，借助一种初始估计粗糙，但是能够逐步改进其精确性直至达到所要求的精度的循环迭代方法，结合常微分动力系统的理论，完全地得到了不同情况下，这两类解在零处的精确渐近行为。. 对于一类半线性以及拟线性椭圆方程，得到在不同情况下，径向解在零和无穷远处的精确渐近展式以及拟线性抛物方程稳态解的稳定性。研究结果可为更一般的拟线性椭圆方程解的存在性与非存在性、对称性、解的结构以及拟线性算子特征值理论的研究提供理论支撑。