函数空间的拓扑分类

Infinite-dimensional topology is one of the most important branches of topology, which supplies lots of new methods and problems for topology. It is closely connected to others mathematical disciplines,such as functional analysis,set-value analysis and differential equations. The project will discuss the topological classification problem on function spaces on the basis of three finished projects which are under the support of the National Natural Science Fund of China. In order to complete these works, we need to establish the relation between specific general metric space and metric space, and give some properties of set theory we need, also we provide some new methods to construct continuous functions and homeomorphisms and construct absorbers of various classes of topological spaces. We want to know the partial topological classification problem of metrizable function space under the Fell topology, the topological classification problem of the function space under the Hausdorff metric topology and the topological structure of fuzzy number space under Lp metric. We hope in this project may give some applications of our results in set-valued analysis and fuzzy mathematics and new problems for general topology. These works will not only make a contribution in infinite- dimensional topology but also may supply new knowledges and tools for infinite-dimensional topology applying to other disciplines. We think that the project has its important values in theory and applications.

无限维拓扑学是拓扑学的一个重要分支，为拓扑学提供了很多新方法和新问题。它与泛函分析，集值分析，微分方程等数学学科有着密切的联系。本项目希望在已完成的三项国家自然科学基金的基础上，研究函数空间的拓扑分类问题。为此，需要建立特定的广义度量空间和度量空间之间的关系，给出描述集合论中我们所需要的一些性质，探讨构造连续函数和同胚的新方法, 构造各种拓扑空间类的吸收系统。通过这些工作，我们希望解决：在Fell拓扑下可度量化的部分函数空间的拓扑分类问题，在Hausdorff度量拓扑下函数空间的拓扑分类问题，在Lp度量下的模糊数空间的拓扑分类问题，给出这些结果在集值分析，模糊数学等学科中的应用，为一般拓扑学提出新的有意义的问题。这些问题的深入系统的研究和解决，不仅大大促进了无限维拓扑学的发展，同时也为无限维拓扑学在其他相关学科中相关问题的研究提供新的理论框架和有效工具，有重要的理论意义和潜在的应用价值。

无限维拓扑学是拓扑学的一个重要分支，函数空间是这个分支很重要的一个研究课题。本课题给出了在底空间是k-空间时，一种自然的可度量化函数空间的完全的拓扑分类，并给出了底空间不是k-空间时，这种函数空间的拓扑性质的研究。具体而言，当X 是k-空间时，从 X 到单位区间的所有连续函数在赋予下方图形 Fell 拓扑下可度量化时函数空间同胚于c0或者同胚于c0并s，但是，当X 不是k-空间时，可度量化的这个函数空间类互相不同胚的个数多达实数集的幂集个，从而给出完全的拓扑分类是不可能，本项目对此问题进行了初步研究，证明了他们和X 是k-空间时完全不同的一些性质，例如，Baire 性质等。我们给出了在 Lp度量下，模糊数空间的拓扑分类，也给出了模糊星型数在各种度量下的拓扑分类，他们都是一种特殊的函数空间。研究了拓扑动力系统问题以及无限维拓扑学在这个领域中的应用，利用无限维拓扑学的方法给出传递映射，拓扑墒有关的拓扑动力系统中的5类函数空间的分类和性质,证明了他们或者同胚于Hilbert空间或者是可缩的。给出了一些自然的超空间的拓扑结构，包括有限点集合，等面积集合等。开展了李群的万有空间的存在性问题的研究。建立了广义L-拓扑空间的基本框架，利用三种Lowen函子，生成了I-fuzzy拓扑生成序空间和经典拓扑生成序空间。 我们在M-模糊化的凸结构空间中引入了M-模糊化基点序, 刻画了M-模糊化区间空间的性质。我们研究了一种新型的相似推理模型——基于双蕴涵的模糊推理模型，在此基础上提出保相似度模糊推理理论，为构造新的推理模型提供重要参考准则。通过这些工作，我们为无限维拓扑学注入了新的活力，建立了这个学科和拓扑动力系统，模糊数学等领域的联系。共发表论文23篇，其中SCI论文16篇；投稿中的论文5篇。专著一部，428000字，科学出版社出版。在此书中，我们提供了进入无限维拓扑学的一个简洁路径。