关于Neumann型系统及其应用的研究

本项目拟将以谱分析、代数曲线理论为工具，结合Lax对非线性化、迹公式、Jacobi反演及双线性生成函数研究：(1)可积非线性发展方程在辛子流形上的Neumann型有限维可积约化；(2)Neumann型系统的Liouville可积性证明及约束Neumann型流作用的有限维不变子空间；(3)Neumann型系统与无穷维可积系统之间的内在联系；(4)约束Neumann型流在Riemann面Jacobi簇上的演化规律；(5)可积非线性发展方程的有限带势的代数几何构造。由此，研究内容将丰富有限维可积系统的研究对象，嫁接Neumann型系统与代数曲线之间的桥梁，发展一个系统、有效的方式途经Neumann型系统寻求可积非线性发展方程的有限带解及其Riemann theta函数表示。

我们严格按照原计划开展了有关研究，圆满完成了各项预定任务。基于Lax对非线性化，实现了1＋1维可积非线性发展方程族和部分2＋1维可积系统在辛子流形上的有限维可积约化，从而在理论上简化其显式求解问题，并获取一批新Neumann型系统(Neumann系统的一般推广)。区别于文献中已有的Moser约束方法和r-矩阵理论，提供一个行之有效的系统方式一举证明一族Neumann型系统的Liouville可积性。对于Neumann型系统与无穷维可积系统之间的内在联系，我们发现Neumann型系统的对合解经Neumann映射直接生成1＋1和2＋1维可积非线性发展方程的有限参数解及其有限带势；此外，我们还指出所得Neumann型系统在Riemann面Jacobi簇上的流演化速度恰等于代数曲线的规范全纯微分基底在无穷远点的渐近展式系数，为沟通有限维系统的可积性和代数曲线理论提供了一个重要事实。综上所述，本项目从另一个层面，致力于应用Neumann型系统寻求1＋1和2＋1维可积系统的有限带势及其Riemann theta函数表示。相关研究成果已出版在Stud. Appl. Math.，Dynamics of PDE，J. Math. Phys.，Math. Phys. Anal. Geom., J. Nonlinear Math. Phys.等SCI杂志上，部分结果还分别在中国科学院武汉物理与数学研究所，洛桑联邦理工学院以及University of Texas-Pan American作了报告，并获得好评。进一步更深入的成果正在整理加工当中，待发表。