分数阶粘滞波动方程及其数值模拟和Q补偿成像研究

Studies have shown that the earth medium is more close to the viscous medium. The regular acoustic and elastic migration face challenges because the viscous medium causes attenuation of seismic energy, dispersion of frequency and distortion of wavelet. In this project, based on present constant Q and the nearly constant Q models and visco-acoustic equations, we will develop a visco-acoustic wave equation with fractional derivatives, which can describe the properties of the viscous media and facilities forward modeling and Q compensated reverse time migration (Q-RTM) with decoupling dispersion and attenuation term. On the other hand, we will develop a forward modeling method and a Q-RTM for solving the visco-acoustic wave equation with high fidelity, accuracy, efficiency and stability for long computation by studying the symplectic algorithms under the Birkhoffian system and the optimized stereo-modeling operators. Finally, we will build up software for the forward modeling and Q-RTM using the parallelization codes and do the numerical simulations and Q-imaging in complex viscous media. The accomplishment of this project will be expected to achieve important progresses in the efficiency, resolution, and reliability of imaging, which promote a new development of the theory and techniques for viscous media.

研究表明，地球介质更接近于粘滞介质。常规声波、弹性波偏移方法因粘滞介质造成的地震波能量衰减、频率发散、相位畸变等问题面临挑战，不能满足目前勘探需求。本项目拟基于现有的常Q、近常Q模型和几类粘滞波动方程，发展一种分数阶粘滞波动方程（模型）。该方程既要能较准确描述粘滞介质中波场特性，也要尽可能利于正演模拟和Q补偿逆时偏移（频散项与衰减项解耦）。同时，在深入研究Birkhoffian系统框架下的保辛算法，近似解析离散化类差分算子的优化方法的基础上，发展求解分数阶粘滞波动方程的高保真、高精度、高效、长时计算稳定的正演数值算法和Q补偿逆时偏移方法。最后，搭建粘滞介质中的正演模拟和逆时偏移并行程序库，进行复杂粘滞介质中的高保真波场数值模拟以及Q补偿成像。该工作的顺利完成，有望在正演和偏移成像的计算效率、分辨率和可靠性方面取得重要进展，以推进粘滞介质理论与技术的新发展。

地下介质普遍具有粘弹性，粘弹性介质造成地震波能量衰减、频率发散和相位畸变，从而造成成像振幅衰减和反射层错误归位。因此研究粘弹性介质中的地震波数值模拟和成像具有很大的意义。本项目分别针对不同类型的粘滞波动方程研究了对应的不同正演格式的构造。具体包括：（1）针对达朗贝尔纵波方程类型的粘滞波动方程，发展了时间空间均具有四阶精度的数值格式，对于该方法在正演数值模拟的准确性、有效性等方面开展了一系列研究，具体包括数值频散分析，效率分析，波场快照和地表地震记录与声波情形对比等；（2）对于含时间分数阶导数的粘滞波动方程进行了频散衰减分析，对时间分数阶导数的离散格式进行了研究，讨论了截断算子法和自适应算子长度法，空间上结合Stereo-modeling（STEM）方法发展了一种新型的有限差分方法，详细研究了该方法的数值特性，包括与解析解的比较，数值频散分析，效率分析等。进一步地，针对不同粘滞介质进行了波场数值模拟，并将所获数值结果与传统方法相比较；（3）对于含分数阶拉普拉斯算子的粘滞波动方程，研究了Runge-Kutta伪谱法，初步进行了地震波场的数值模拟和比较；（4）针对地震数据存在数据假频的情况，研究了在地震偏移中STEM方法在压制数据假频方面的特性；（5）研究了STEM类型的高阶精度方法，发展了一种具有十二阶空间精度的STEM算法。另外，本项目在成像方面的工作有：（1）基于达朗贝尔纵波型粘滞波动方程和基于该方程我们发展的有限差分方法，研究了逆时偏移的Q补偿成像，通过断层模型、Marmousi模型等测试了Q补偿成像的有效性，也与声波方程逆时偏移成像进行了对比；（2）基于时间分数阶导数的粘滞波动方程，进行了粘滞波场的逆时偏移成像，选择了几种模型对方法进行了测试。本项目所取得的系列成果对于衰减介质中的地震波场数值模拟和成像具有重要指导意义。