多项时间-空间分数阶波动扩散方程及其应用

The investigation of fractional partial differential equations has recently drawn attentions from researchers and academics during the last decade. Research results indicated its potential applications in modelling various kinds of real physical phenomena such as anomalous diffusion, dispersion in porous media, and electrolyte polarization. This project aims to develop both theoretical and numerical analyses on the solutions of the multi-term time-space fractional wave and diffusion equations. The theoretical part will be focused on proving the uniqueness and existence of their solutions under standard initial/boundary conditions in the classical and weak senses. Also, the regularity, energy estimation, and asymptotic behaviors of the solutions will be investigated. For illustration, the analytical expression of the solution to a one-dimensional multi-term time-space fractional wave equation, such as Szabo wave equation and the power law wave equation, will be derived. The numerical analyses will be emphasized on the stabilities and convergences of the numerical algorithms to the solutions of the multi-term fractional wave and diffusion equations. An extension of both the theoretical and numerical results to higher dimensional space will be made. The outcome of this project will further promote the current researches on fractional partial differential equations. In particular, the analytical and numerical results on the demonstrated Szabo and power law equations will have an impact to the present study on biological engineering disciplines.

分数阶偏微分方程已经在复杂系统中的反常扩散、多孔介质中的传播、电解质的极化等一系列领域中有了令人瞩目的应用。 本项目旨在研究多项时间-空间分数阶波动和扩散方程的解析解、数值解及其相关应用。详细分析多项时间-空间分数阶波动和扩散方程非齐次初边值问题经典解和弱解的存在唯一性，并讨论解的正则性、能量估计、渐近性态等。特别地，针对一维空间中多项时间-空间分数阶波动和扩散方程,如Szabo波方程、幂律波方程，给出具体的解析解表达式。另外，给出多项时间-空间分数阶波动和扩散方程的数值解，证明算法的稳定性和收敛性。最后，将上述理论和数值结果推广到二维、三维甚至更高维空间中。 本项目不仅可以促进分数阶偏微分方程相关理论的进一步发展，而且使得生物工程实际问题得以解决。

空间分数阶对流-扩散方程在具有分形结构的多孔介质传导问题中有重要的应用。 本项目研究了变系数空间分数阶扩散方程和分布阶空间对流-扩散方程的迭代算法，并对相关分形力学问题进行了数值模拟，对一些相关问题和方法进行了研究。具体工作包含： .1、在有限域内研究变系数的两边空间分数阶扩散方程。利用二阶格式逼近Riemann–Liouville分数阶导数，构造了Crank–Nicolson有限差分算法。同时，针对此Crank–Nicolson算法，引入了快速迭代算法，减少了计算存储量和计算消耗。.2、在有限域上，将经典的对流扩散方程推广到Riesz空间分数阶对流-扩散方程。利用加权和移位的Grünwald差分算子逼近Riesz分数阶导数，构造出有限差分迭代算法。分析了迭代算法的无条件稳定性以及关于空间和时间的二阶收敛速度。另一方面，结合Richardson插值方法，将时间和空间的收敛率都提高到了四阶。.3、研究空间分布阶扩散方程以及空间分布阶对流-扩散方程的数值解。结合中点积分法和有限体积法，给出空间分布阶扩散方程以及空间分布阶对流扩散方程Crank-Nicolson迭代算法，分析了算法的无条件稳定性和二阶收敛率。同时，我们用此方法求解了分数阶动力问题中加速超扩散过程的数值解。