Davey-Stewartson系统的散射，爆破和刚性问题

The scattering, blow-up and rigidity problems for nonlinear dispersive equations with large data has been receiving a lot of attentions in the community of PDEs. In this program, we shall focus on the scattering, blow-up and rigidity problems of partial differential equations in the field of water waves theory with dispersive effects, especially the Davey-Stewartson system. We aim to find the sharp condition for scattering solutions of Cauchy problems. On the other hand, we shall describe the dymanics of non-scattering solutions.

非线性色散方程大初值解的散射,爆破和刚性问题是近年国际偏微分方程界的研究热点之一。本项目主要关注具有色散效应的Davey-Stewartson(D-S)系统的散射，爆破和刚性问题。 一方面, 研究这类方程初值问题解散射的最优条件; 另一方面, 研究非散射解的动力学行为。其一，研究有限时刻爆破解的动力学行为；其二，研究这类方程的整体存在非散射解的动力学行为。不同于经典的色散方程(如薛定谔方程), D-S系统中其非线性相互作用既有耦合作用，又包含非局部泛函。作为非局部算子,这些泛函通常不具有较好的对称性. 因此,传统的方法和技术不再适用。申请人希望通过对这些问题的研究找到处理这类方程的合适框架和技术。

本项目研究模拟一类主要在一个方向传播而振幅在两个水平方向都缓慢变化的具有色散效应的Davey-Stewartson(D-S)系统的散射，爆破和刚性问题。不同于经典的色散方程(如薛定谔方程), D-S系统中其非线性相互作用既有耦合作用，又包含非局部泛函，因此相关研究方法和技术可以应用于同样具有非局部非线性项的Hartree方程等的研究中。在对Davey-Stewartson系统展开研究的同时，项目组成员对同样具有非局部非线性项的Hartree方程和半相对论Hartree方程进行了研究。在项目执行期间，项目组基本按照研究计划开展研究，取得了一些研究成果。部分成果已在国际学术刊物DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS, APPLIED MATHEMATICS LETTERS上发表。这些研究成果在一定程度上完善了偏微分方程的理论, 也为这些模型的实际应用提供了理论参考。