具有控制和状态约束的抛物系统最优控制问题的数值近似方法

Based on Pontryagin's maximum principle, we will discuss the finite element numerical approximation of nonlinear parabolic optimal control problem with control and state constraints. Firstly, we will study the sufficient and necessary conditions for the optimal control problem and obtian the Pontryagin's maximum principle for the nonlinear parobolic optimal control problem. Moreover, due to the nonlinearity and loss of the convexity of this problem, we will find appropriate second order sufficient condition, which will meet the need for the error estimate; Secondly, as the occur of the control and state constraints, we study the their effects of the Lagrange multiplier on the studied problem under some proper conditions. Based on this work, we can obtain the error estimate for the parabolic optimal control problem; At last, we will study the time optimal control problem for the systems governed by the parabolic partial differential equations.

本项目从Pontryagin 最大值原理出发，充分利用最大值原理的全部信息，探索在适当的控制和状态约束条件之下非线性抛物系统最优控制问题的数值近似方法。首先研究最优控制问题存在的充分和必要条件。得到非线性最优控制问题的Pontryagin 最大值原理，并且由于凸性条件的丢失，寻找和研究适当的二阶充分条件，使其满足误差估计的需要;其次，由于控制和状态约束的出现，研究在适当条件下拉各朗日乘子给问题带来的影响。在此基础上，得到有限元近似方法的先验误差估计;最后，我们还将考虑适当条件下的时间最优控制问题的有限元近似方法，得到抛物系统时间最优控制问题的先验误差估计。本项目将发展一般非线性抛物系统最优控制问题的有限元近似方法，进一步丰富和完善分布参数系统最优控制问题的数值计算理论。

由于在现实生活中控制问题变得越来越复杂，很难找到这类问题的精确解。然而，大量的工程实际问题需要求得控制问题的解，对解进行某些定性或者定量的分析和刻画。随着计算机技术的高速发展，通过数值计算寻求控制问题的近似解以及设计有效控制器等问题引起众多研究者的兴趣。本项目主要开展抛物系统最优控制问题的数值近似方法及相关问题研究。主要开展了以下几方面的工作。研究了具有控制约束的变区域上热方程、具有控制和终端状态约束的Burgers-Fisher方程等几类系统最优控制问题的数值近似方法。利用Pontryagin最大值原理的对偶状态方程的信息，通过控制参数化和敏感性分析等方法，得到最优控制问题的数值近似方法，并通过数值仿真对计算误差进行分析；研究了非线性抛物系统时间最优控制问题的有限元误差估计方法。利用抛物方程逐点误差估计、Pontryagin最大值原理和热方程的唯一延拓性等性质，在局部控制和全局控制情况下，得到较以前更高阶的误差估计；研究了时变分数阶抛物方程时间最优控制问题和范数最优控制问题的Bang-bang性。通过建立在时间点上的定量唯一延拓性和时间可测集上的能观性不等式，得到所要结果的；另外，还开展了抛物系统、一阶双曲方程、梁方程等几类分布参数系统的能稳性等控制相关问题的研究。