具有状态约束的Navier-Stokes方程的最优控制问题

This project is concerned with optimal control problems of Navier-Stokes equations with state constraint. The controls are acted on the interior domain or on the boundary. We firstly consider the Dirichlet boundary optimal control problems of Navier-Stokes equations with state constraint. The Pontryagin's maximum principle is expected to be established. Secondly, we shall study the second order optimality condition for optimal control problems of Navier-Stokes equations with state constraint. At last, on the basis of the research results of first order necessary condition and second order sufficient condition, we shall consider the Lipschitz stability of the optimal solution respect to the perturbation of the system parameters. The research of these problems will not only develop the control theory of Navier-Stokes equations, but also contribute greatly to the applications.

本项目拟开展对带状态约束的Navier-Stokes方程的最优控制问题的研究。控制可以是内控制或边界控制。我们首先考虑带状态约束的Navier-Stokes方程的Dirichlet边界最优控制问题，并期望得到该类最优控制问题的庞特里雅金最大值原理。之后，我们会研究带状态约束的Navier-Stokes方程的最优控制问题的二阶最优性条件。最后，我们在一阶必要条件和二阶充分条件的研究基础上，考虑带状态约束的Navier-Stokes方程的最优控制问题的最优解在系统参数扰动下的李普希茨稳定性问题。以上这些问题的研究不仅将发展和完善Navier-Stokes方程的最优控制理论，同时对于相关的工程应用也有重要的意义。

Navier-Stokes方程是最重要的偏微分方程之一，其最优控制问题无论从理论上还是应用上都具有重要的研究意义。在项目执行期间，我们首先考虑了Boussinesq流体的边界稳定控制，通过直接构造和利用线性二次最优控制问题两种方法，得到了使得Boussinesq方程组局部稳定化的两类有限维的显式的边界反馈控制；之后我们考虑了带有关于时间逐点状态约束的最优控制问题的最优解在某种正定条件下关于扰动的Lipschiz稳定性；除此之外，我们与国内外同行交流讨论过程中，发现可以就其他相关的热点问题进行合作研究，考虑了包括半线性抛物方程的边界反馈稳定控制问题、半线性抛物方程的脉冲输出反馈稳定控制问题、热方程的样本输出反馈稳定控制问题以及带有Grushin算子的退化抛物方程可测集上的能观性不等式等问题。我们得到了如下主要结果：我们给出了一类显式的有限维的边界反馈控制使得半线性抛物方程稳定，并且数值上验证了方法的有效性和简便性，推广了V.Barbu院士原有的结果；针对Fisher方程，我们证明了一类脉冲输出反馈控制能使得该方程局部稳定，推广了汪更生教授原有的线性结果；利用已有的开集上的Carleman不等式和退化方程非奇性区域上的解析性证明了带有Grushin算子的退化抛物方程可测集上的能观性不等式。