带时滞项肿瘤生长自由边界问题的定性分析

This project is to study the fully non-stationary version of some free boundary problems modeling tumor growth with time delays. In the problems, there are two kinds of time delays. One represents the time taken for cells to undergo mitosis,the other one represents the time for changes in the proliferation rate to stimulate compensatory changes in apoptosis cell loss. These problems contain reaction diffusion equations which respectively reflect the changes of nutrients and inhibitor concentration in the tumor, and ordinary differential equations with time delays which describe the change of the volumes of the tumor. Due to the volume of the necrosis core in the tumor changes over time as well as the volume of the tumor, the problems have free boundaries. We will systematically give some rigorous mathematical analysis of these time-delayed free boundary problems. Specifically on three areas: First, the existence and uniqueness of the time-varying solution; second, the asymptotic behavior of the time-varying solution when the time tends to infinity; the third is the influences of the time delay to the tumor growth, and based on the results of qualitative analysis, the biological and medicine explanation will be given. The mathematical theory analysis not only helps us verify inherent mechanism and the law of tumor growth, but also provides mathematical theory for modern medical research related to tumor issues.

本项目旨在研究一些完全非稳态带时滞项的描述肿瘤生长的自由边界问题. 在这些问题中，存在两类时滞. 第一类时滞表示肿瘤细胞分裂所需要的时间，第二类时滞表示从肿瘤细胞分裂速率的变化到引起肿瘤细胞产生调节凋亡速率所需要的时间. 这些问题包含反映肿瘤内部营养物和抑制物浓度变化的反应扩散方程, 描述肿瘤体积变化的带时滞项的常微分方程.由于肿瘤的体积和肿瘤内部坏死核的体积随时间变化而变化, 所以这些问题具有自由边界. 我们将系统地给出这些带时滞自由边界问题的严格数学分析. 具体地研究三个方面：一是时变解的存在唯一性; 二是时变解当时间趋于无穷大时的渐近性态; 三是时滞的大小对肿瘤生长的影响以及结合定性分析的结果给出模型的生物学和医学解释. 这些数学理论分析不仅有助于探明肿瘤生长的内在机理及其生长发展变化的规律，而且为当代医学研究有关肿瘤的问题提供数学理论基础.

本项目主要研究两个类型的描述肿瘤生长的自由边界问题，这些自由边界问题分别带有不同的时滞项。在第一个类型中，肿瘤细胞分裂过程存在时滞；另外一个类型中，从细胞分裂速率发生变化到引起肿瘤细胞产生调节凋亡速率的过程存在时滞。对于带第一种时滞的肿瘤生长自由边界问题，主要研究了具有坏死核的情形和周期环境下情形。对于有坏死核情形，分别研究了一个拟稳态情形和一个完全非稳态情形。其中对拟稳态情形的研究,完善了M. Bodnar, U. Fory的结果，在某些特定条件下M. Bodnar, U. Fory只是给出了数值模拟，我们给出了严格的数学理论分析；对于周期环境下带时滞项的情形，证明了周期解的存在唯一性, 讨论了时变解当时间趋于无穷大时的渐近性态。同时，给出一些数值模拟。除此之外，还研究了一些完全非稳态情形的一些特殊情况，主要研究了时变解的存在唯一性、时变解当时间趋于无穷大时的渐近性态以及抑制物对肿瘤生长的影响，推广和完善了一些已有结果。对于带第二种时滞的肿瘤生长自由边界问题，主要讨论了时变解的存在唯一性、时变解当时间趋于无穷大时的渐近性态以及抑制物对肿瘤生长的影响。 这些结果不仅有助于探明肿瘤生长的内在机理及其生长发展变化的规律，而且为当代医学研究有关肿瘤的问题提供数学理论基础。项目组综合利用一些分析方法，不仅推广和完善了一些已有结果，而且还研究了一些更为一般的数学模型。三年来共发表相关学术论文23篇，其中SCI收录13篇，SSCI 收录1篇，EI收录4篇。