一类具有尖峰解和爆破解的三次非线性可积系统的若干问题研究

This project is concerned with several aspects for a class of cubic nonlinear integrable systems with peakons and blow-up solutions. We mainly investigate the initial value problem and the initial boundary value problem for the systems. The local well-posedness of the systems are established, and the blow-up phenomena as well as the global existence for strong solutions to the systems are studied. The existence and the uniqueness of global weak solutions for the systems are proved, and the orbitally stability of peakon solutions are discussed. Furthermore, the numerical simulations of interactions of the solitons to the systems are considered. Researches on the above issues for the equations will help us deeply understand the important physical phenomena of solitons and wave-breaking in water wave from the view of mathematics, so the project is very important for both mathematical theories and physical applications.

本项目主要对一个具有尖峰孤立子解和爆破解的三次非线性可积系统及其多分量推广模型的若干问题进行研究。我们主要研究系统的初值问题和初边值问题的局部适定性；研究强解的爆破和整体存在性；研究整体弱解的存在性和唯一性；研究行波解和尖峰孤立子解的轨道稳定性以及它们相互碰撞作用的数值模拟。本项目对上述问题的研究，有助于我们从数学角度对孤立子和破裂波加以深刻描述和刻划，从而加深理解和认识孤立子和破裂波这两个重要的物理现象。因此本项目的研究在数学理论和物理应用方面都有重要的意义。

本项目着重研究一类三次非线性水波方程及其多分量推广模型，这是具有重要物理背景的非线性可积模型。研究的内容集中于揭示方程定解条件的正则性要求与解的局部、整体适定性之间存在的深层联系，以及系统解的长时间性态、奇性的形式和结构等。通过对方程若干问题的研究来理解这些方程（组）的演化问题，从而解释和预测一些重要的物理现象(如孤立子现象和波破裂现象)。经过课题组成员的共同努力，我们较好地完成了研究计划中预定的各项研究任务，在一些较为重要的课题的研究中取得了较大的进展。在该课题资助下，课题组成员共发表6篇SCI收录论文。