基于似然函数的统计推断

In this project statistical inference based on likelihood functions is considered. It is mainly concerned about hypothesis testing. New statistical inference approaches are proposed. In two ways the classical likelihood inferences are generalized. One is the posterior projective p-value in which the ratio of the likelihood functions on null hypothesis and full parameter space is taken as a discrepancy variable. Another is the test statistic constructed by the ratio of two weighted integrals of likelihood functions on null hypothesis and full parameter space. Meanwhile Wilks phenomenon for the test statistic is investigated. Both of two generalizations are relative to the posterior predictive distribution which should be of a great role in statistical inference. New likelihood inference method will be employed to analyses of the statistical models with complex and high dimensional data. The method is not only frequentist, but also Bayesian. Because the likelihood inference plays a dominant role in statistical inference and the analysis of complex or high dimensional data is an urgent work for statistics, the project is important both in theory and practice at the age of big data.

本项目研究基于似然函数的统计推断，着重于统计假设检验问题。提出了新的似然推断方法，主要以两种方式推广似然比检验，一是以原假设和全参数空间上的似然函数之比作为差异变量来求取预测p-值，二是用原假设和全参数空间上的似然函数的加权积分之比作为检验统计量，并研究它的Wilks现象。这两种方法都与后验预测分布有关，相信后验预测分布将在统计推断中发挥更大的作用。新的似然推断方法主要用于复杂的和高维的统计模型。研究方法涉及频率和Bayes两个统计学派。基于似然推断的重要地位，在这个大数据时代，分析复杂数据和高维数据将是统计学的一个主要任务，所以，本项目具有重要的科学意义和应用价值。

本项目研究基于似然函数的统计推断，似然推断的结果具有最优性或渐近最优性，它在统计推断中处于统治地位。除了经典的频率似然推断，Bayes推断也是一种似然推断。本项目研究了多种情形下的似然推断，Bayes推断，以及频率和Bayes相结合的似然推断。重要结果有，1. 后验两次预测p-值。我们提出了后验两次预测p-值，它改进了一次预测p-值远离均匀分布的现象，并利用差异变量的灵活性，可用于很多实际问题中。我们证明了后验两次预测p-值具有渐近均匀分布，并证明了一定条件下的渐近最优性。2. 积分型似然比检验。我们提出了积分型似然比检验统计量，它包含了经典的似然比检验统计量和后验Bayes因子，证明了它具有Wilks现象，也给出了由它确定的检验的渐近最优功效。3. 广义似然比检验。基于高维数据下似然函数的无界性，我们提出了广义似然比检验，它是寻找最不利于原假设的方向下，似然函数在原假设下的最大值，在高维正态均值检验和高维方差分析中，显示了它的优良性，特别在协方差阵的特征根差异较大时，比现有的检验方法具有高得多的功效。4. Bayes判别法则。对一般的密度函数族，在一般的损失函数下，我们给出了Bayes判别法则，它使得Bayes风险达到最小，有意义的地方是这个判别法则在本质上是后验预测密度之比。我们还证明了它具有Oracle性质，即它趋于真分布下的最优判别法则。这些研究结果在方法上的创新大，具有重要的理论意义和学术价值，也具有应用价值。