关于几类新型两性分枝过程及其相关问题研究

The study of branching processes has very important significance in stochastic process theory, and branching processes have extensive application in population propagation、gene inheritance、 epidemic diffusion and so on. In this item, we investigate some new classes of bisexual branching processes models, including bisexual branching processes in Markov environments, bisexual branching processess in stationary ergodic environments, the continuous time age-dependent bisexual branching processes, bisexual branching process model with immigration. Except for the extinction probability problem, we also investigate their asymptotic convergence and the convergence in distribution to reflected stochastic processes. On the basis of our research work, we mainly apply stochastic compare, renewal theory and functional limit theory etc. The purpose of this item is to develop the theory of bisexual branching processes, and supply some new models and research result for practical application fields.

分枝过程不仅在随机过程理论领域占有重要的地位，而且在种群繁衍，基因遗传，流行病传播等领域有广泛应用。该项目以几类新型的两性分枝过程为研究对象，包括Markov环境中的两性分枝过程，平稳遍历环境中的两性分枝过程，连续时间年龄相依的两性分枝过程，以及带移民的两性分枝过程模型。除了它们的灭绝概率问题，我们还将研究以上单个两性分枝过程的渐近收敛，以及分枝过程列弱收敛到反射随机过程等问题。在我们已有研究工作的基础上，采取的主要研究方法是随机比较，更新理论和泛函极限理论等。该项目旨在理论上进一步发展两性分枝过程理论，为应用领域提供新的模型和研究结果。

2014年至2016年，项目组对随机环境中的两性分枝过程，随机环境中人口数相依的分枝过程，带控制的分枝过程，风险模型中带贵的比例再保险和交易费用的最优分红和融资控制问题，带有多层分红策略的马氏相依风险模型进行了研究。发表了学术期刊论文5篇，其中两篇SCI，两篇核心期刊,一篇国外期刊论文。另有一篇已投SCI期刊并修改过一稿，两篇正在整理中的科研工作。主要内容和成果为.1.随机环境中的分枝过程已引起许多学者的关注，在前人研究的基础上，我们研究了一类随机环境下带移民（包括移进或移出两种情形）的两性分枝过程，其中，每一代的配对个体产生的雌雄后代数和参与产生后代的个体数目受一个外界环境过程的影响，并且配对函数依赖于上一代的配对个体数。对于这一类过程，我们首先得到了随机模型中相关量之间的概率母函数满足的等式和不等式关系。并进一步利用随机序关系和鞅方法，主要得到了判定过程是否几乎处处灭绝的判定准则。.2. 随机环境中人口数相依的分枝过程是一类更广泛的分枝过程，它考虑后代分布即依赖于一个环境过程又依赖于当前的人口数目，我们研究了临界情形下随机环境中人口数相依的分枝过程，沿用测度变换的方法，利用随机游动的理论，获得了下临界情况下随机环境中人口数相依的分枝过程生存概率的渐进估计。.3. 对于带控制函数的分枝过程成为近期研究的热点.这类分支过程的灭绝和极限问题已经有很多研究结果，我们研究了后代产生机制受控于某个控制函数，且每个个体产生的后代数依赖于当前种群数量的分枝过程。在适当的矩条件下，Kuster利用鞅理论已经研究了该分支过程的发散率问题，受Gonzalez等人的影响，我们研究了该分支过程的下临界行为。我们首先证明该分支过程是一个不可约的非周期马尔科夫链，其次我们证明在下临界条件下，该过程依分布收敛到一个有限非退化正值随机变量。.4. 作为一个独立的兴趣，我们研究了风险模型带贵的比例再保险和交易费用的的最优分红和融资控制问题。我们找到了破产前使股东分红减去融资额的现值期望最大的策略，主要通过构造两类次最优控制模型以及最优控制理论解决其中的最优控制问题。