几类多线性算子及其相关问题

The theory of multilinear Calderón-Zygmund operators has become an active research subject in modern harmonic analysis recently, which has important applications in PDE and operator theory, especially in the theory of pseudo-differential operators. The boundedness and compactness is one of the most important problems in the theory of commutators. In recent years, we studied some multilinear singular integral operators and their commutators. Some results of the boundedness or compactness are obtained. .In this project, we will study some multilinear integral operators and their commutators. This project mainly includes four aspects: 1) We will give the characterizations of the boundedness and compactness of the iterated commutators of multilinear Calderón-Zygmund operators with its kernels satisfying standard estimates, and give some characterization of Besov spaces in virtue of the boundedness of the commutators. 2) Some boundedness and compactness properties of the commutators of the multiple Hardy-Littlewood maximal function will be studied. 3) When the kernels satisfying some weak regularity conditions, we will study the boundedness or compactness of the multilinear and maximal multilinear ω-CZ operators and their commutators, and establish the T(1) theorem that adapts to the multilinear ω-CZ operator. 4) We will study the multilinear operators related to strongly singular integral operators and their commutators, systematically. .We will give some applications of the above results in the study of multilinear pseudo-differential operators and paraproducts with mild regularity.

多线性Calderón-Zygmund算子理论是当前调和分析领域中十分活跃的课题，在偏微分方程、算子理论尤其是拟微分算子理论中有着重要应用。有界性和紧性是交换子理论研究的核心问题之一。近年来，申请人及合作者建立了多线性奇异积分算子及其交换子有界性(或紧性)的若干结果。本项目将对几类多线性积分算子及其交换子做进一步研究，主要有四方面的内容：1)建立满足标准估计的多线性Calderón-Zygmund算子的迭代交换子有界性和紧性的等价特征，用多线性算子的交换子给出Besov空间的刻画；2)研究多重Hardy-Littlewood极大函数的交换子的各种性质；3)在较弱条件下研究多线性和极大多线性ω-CZ算子及其交换子的有界性(或紧性)，建立相应的T(1)定理。4)系统研究多线性强奇异积分算子及其交换子的各种性质。并把获得的某些结果应用到具有较弱正则性的多线性拟微分算子和仿积算子的研究中。

多线性算子理论是当前调和分析领域中十分活跃的课题，在偏微分方程、算子理论中有重要应用。在本项目资助下，研究了几类多线性算子以及与之相关的一些问题，获得的主要成果大致可归结为五个方面：(一)多线性Calderón-Zygmund算子及相关问题。在较弱光滑条件下，建立了多线性C-Z算子交换子的加权强型和弱型估计，得到了多线性ω-CZ算子以及极大算子与BMO或Lipschitz函数的交换子在多种空间的有界性。证明了ω-CZ算子与加权BMO函数的交换子在加权Hardy空间的有界性。研究了带Dini型核的多线性极大平方函数交换子的有界性。部分结果已应用到具有较弱正则性的双线性拟微分算子和仿积算子。(二)证明了多重极大函数的极大和非线性交换子在乘积Lebesgue空间有界的几个等价条件。给出了H-L极大函数、分数次极大函数、sharp函数的交换子在Lebesgue空间、Morrey空间或Orlicz空间中有界的充分必要条件，得到了BMO及Lipschitz函数的若干新刻画。首次研究了极大函数的交换子在Sobolev空间、Triebel-Lizorkin空间和Besov空间中的有界性与连续性。(三)讨论了变阶分数次Hardy算子、变阶Riesz位势、分数次积分交换子、极大函数及多线性奇异积分算子交换子在变指数空间的有界性。(四)研究了粗糙奇异积分算子的若干问题。证明了几类沿曲线（或曲面）的粗糙奇异积分算子的有界性。建立了带L1-Dini核的奇异积分算子的(p,p)界和弱(1,1)界与空间维数的依赖关系以及极大算子弱(1,1)界的极限性质。建立了相应于粗糙核的截断奇异积分算子族的跳跃及变差不等式。(五)对Calderón型和Christ-Journe型交换子进行了深入研究，给出了有界性和紧性的若干新结果。