微分算子的trace公式及其应用

In this project, we will mainly consider the trace formula for differential operators and its applications. Various trace formulas, such as Selberg trace formula, play important roles in the applications of functional analysis on the other branches. In 1950's, Krein consider the stability problem of Hamiltonian system with -1 boundary condition, to do this, he developed the theory of trace formula for Hamiltonian system with -1 boundary condition. Inspired by Krein's work, we will consider the Lagrangian boundary problem of Hamiltonian system, moreover, we will use the trace formula to study the stability problem of physics systems. As we done for S-periodic boundary problems of Hamiltonian systems, the Hill-type formula will be the starting point of the study of trace formula. Till now, all the study of Hill-type formula deals with the "periodic"-type boundary problem, although the problem is more complicated, but the results are similar to the original work of Hill. However, for the Lagrange boundary problem, the results will be totally different. Finally, we will use the idea of trace formula for differential operators to study some problem in Functional Analysis, such as the Dixmier trace, Berg-Shaw theorem, ect.

本项目拟研究微分算子的trace公式及其应用。各种各样的trace公式如Selberg trace公式等是泛函分析与其它数学分支之间建立起联系的主要桥梁之一。Krein在上个世纪50年代研究了Hamilton系统-1边值问题的稳定性，发展了trace公式的理论。受此工作启发，本项目拟利用泛函分析的方法研究Hamilton系统Lagrange型边值问题的trace公式，并将之应用到某些具体的物理问题中。对周期类边值问题，Hill-型公式是研究trace公式的出发点。然而，对Hamilton系统Hill-公式的研究均局限于周期类边值问题，其复杂度虽然远高于Hill在1877年的工作，然而结果却十分相似。本项目拟突破周期类边值条件的限制，考虑Lagrange型边值问题的Hill-型公式，其中结果将与周期类边值条件下的结论完全不同。最后，我们希望将trace公式反馈到泛函分析自身的发展中。

线性算子的谱理论在泛函分析以及在其他分支的应用中起着基本的作用。譬如，判断动力系统的稳定性等。通过本项目的研究，我们主要考虑了Hilbert模的本质正规性，以及其中的思想在微分算子谱理论中的应用。主要研究成果如下，. 一、我们研究了多圆盘上的Hardy模商模的本质正规性，得到了对本质正规性的完整刻画。我们发现，多圆盘上解析Hilbert模的齐次商模的本质正规性与多圆盘的Distinguhised簇之间具有密切的联系。这对研究一般区域上的解析Hilbert模的本质正规性具有很高的价值。对应的结果分别发表在国际一流的数学杂志：Adv Math等上。. 二、我们研究了Hamilton系统的特征值问题。得到了对应的Hill-型公式、Trace公式，并将之用到估计平面三体问题中Lagrangian轨道、Euler轨道的稳定性上。对应的结果发表在国际一流的数学杂志Arch Ratio Mech Anal等上。