解析Hilbert模与微分算子的Trace公式

The p-essential normality of analytic Hilbert modules plays an important role in the study of BDF theory. The idea to study the Hilbert modules can be used to study the eigenvalue problem of differential equations. In the past decade, we gave the completely characterization of homogenous and quasi-homogenous quotient modules of Hardy module over the polydisc. From 2009, we began to study the Hill-type formula and trace formula for quasi-periodic orbits in Hamiltonian system. Combined with the relative Morse index theory, we give some stability criteria for Hamiltonian systems. Finally, we use the stability criteria to study the stable region and hyperbolic region of Lagrangian orbits in planar 3-body problem. Recently, we publish our papers in J. Funct. Anal., Arch. Ration. Mech. Anal, Math.Z. ect. In this project, we wish to continue the studying of trace theory of analytic Hilbert modules, the differential operators, and learn the.essential relationship between them.

申请者致力于研究函数空间上算子的trace理论。主要工作如下：1.对多圆盘版本Arveson猜测的研究。申请人完全刻画了多圆盘上齐次(拟齐次)商模的本质正规性，研究了对应的p-本质正规性，得到坐标算子之交换子的trace公式。2.对微分算子的trace理论的研究。申请人将研究解析Hilbert模中p-本质正规性问题的思想方法应用到Hamilton系统的特征值问题中，建立了Hill-型公式和trace公式。同时，利用trace公式研究Hamilton系统的线性稳定性，最终将稳定性结论应用在n-体问题中，得到平面三体问题中Lagrange轨道的稳定区域的估计，这是170年以来对Lagrangian轨道稳定区域的首次估计。近年来，申请者在J.Funct.Anal.等杂志发表论文10余篇。本研究拟进一步讨论解析Hilbert模以及微分算子的trace理论，并进一步理解它们之间的内在联系。

算子的谱理论是泛函分析中最重要的研究课题之一，它是泛函分析在其它数学分支、甚至其它学科如量子力学等中应用的基础。以分类本质正规算子为目的产生的BDF理论促使Hilbert模理论的产生，进而，人们搭建起算子理论、多复变函数论、代数几何以及代数拓扑等学科之间的桥梁。近二十年来，数学家对单位球上解析Hilbert模的本质正规性进行大量研究，然而对于多圆盘上解析Hilbert模的子模和商模之本质正规性的研究缺乏有效的理论。此外，作为基本的研究工具，谱理论、特征值理论在动力系统等方向具有很重要的作用。. 本项目主要从两个方面开展工作，首先泛函分析理论基础方面，我们研究了Distinguished子簇与双圆盘上解析Hilbert模的商模的本质正规性之间的联系，进而从商模的本质正规性出发，从算子理论和算子代数的角度研究了Distinguished子簇的K-同调。另一方面，我们关注泛函分析在其它数学分支中的应用，考虑了Lagrangian子空间边值问题的特征值问题，并将之应用到n-体问题中的稳定性方面。