迹公式及其应用

In this project, we focus on Petersson trace formula and Kuznetsov formula and apply them to study the analytic properties of Maass cusp forms, holomorphic Hilbert cusp forms and Hilbert-Maass cusp forms. The applicant has a strong background in the theory of trace formulas and their applications. During the project period, we plan to obtain unweighted Petersson trace formula and unweighted Kuznetsov formula and then apply them to study the following four problems:.(1) Distribution of values of symmetric power L-functions of Maass cusp forms at one;.(2) A density theorem on symmetric power L-functions of holomorphic Hilbert cusp forms and some applications;.(3) A large sieve inequality of Elliott-Montgomery-Vaughan type for holomorphic Hilbert cusp forms with applications to Linnik’s problem;.(4) Quantitative version of Sato-Tate vertical distribution of the Satake parameter of Hilbert-Maass cusp forms..The expected results of this project will have important effects on the study of distribution of Hecke eigenvalues of automorphic forms and distribution of values of automorphic L-functions at one.

本项目拟研究Petersson迹公式和Kuznetsov迹公式，进而研究Maass尖形式、全纯Hilbert尖形式和Hilbert-Maass尖形式的解析性质．申请人已经在迹公式及其应用方面有了一定的工作基础．在本项目实施过程中，我们希望得到不加权的Petersson迹公式和Kuznetsov迹公式，进而研究如下四个问题：.(1)Maass尖形式对应的对称方幂L-函数在特殊点的值的分布问题；.(2)全纯Hilbert尖形式对应的对称方幂L-函数的密度定理及其应用;.(3)全纯Hilbert尖形式的Elliott-Montgomery-Vaughan类型的大筛法型不等式及其应用;.(4)Hilbert-Maass尖形式的“垂直版”Sato-Tate猜想和它的收敛速度．.本项目预期的研究结果将会对自守形式的Hecke特征值的分布问题和自守L-函数在特殊点的值的分布问题产生重要影响．

自守形式与自守L-函数是数论的重要研究对象之一. 迹公式是研究它们的一种强有力的工具. 本项目主要研究迹公式及其关于自守形式与自守L-函数的应用. 项目主持人与合作者在项目实施过程中主要得到了以下结果：.(1)在广义Riemann猜想和广义Ramanujan猜想下，确定了GL(n)上的L-函数在1处的值的精确上下界. 如果不假设这两个猜想，项目主持人与合作者证明了除去一个零密度的例外集，GL(n)上的L-函数在1处的值满足同样的上下界..(2)改进了Matz和Templier关于GL(n)上的广义Ramanujan猜想的平均上界估计..(3)证明了GL(n)上的Hecke-Maass尖形式的Hecke特征值满足一个二维中心极限定理..本项目的研究结果对自守形式Hecke特征值的分布和自守L-函数在特殊点的值的分布问题产生了一定的影响.