无界Hamilton算子谱的渐近性与广义本征函数系的块状基性质研究

Applications of symplectic elasticity method have been made important progress, but the study of mathematical theory of the method is far from perfect. This project will investigate the spectral descriptions and asymptotics of the point spectrums, and then describe the block basis properties of generalized eigenfunction systems of unbounded Hamiltonian operators (UHOs) by differential ways comprehensive in this project. This project will focus on the following topics: using the characteristics of the entries of Hamiltonian operator matrices, study the spectral descriptions, the resolvent set to be nonempty, Hilbert-Schmidt property, compactness, asymptotics of the point spectrums and generalized eigenfunction systems of UHOs; consider the spectral properties and the block basis properties of generalized eigenfunction systems of UHOs via the analysis of the relevant properties of the polynomial operator pencils; establish the eigenvalue theory of integral operators with the Hamiltonian kernel from the perspective of integral equations; applying the finite difference theory, investigate the spectral properties and block basis properties of the generalized eigenfunction systems of the discrete Hamiltonian operators, and then approach the corresponding properties of UHOs; study the related properties of the typical UHOs arising from the symplectic elasticity models by using operator theory, finite difference and complex analysis method. The successful implementation of this project can not only provide theoretical foundation for symplectic elasticity but also offer some references for the study of some non-self-adjoint problems.

弹性力学辛体系方法的应用已取得重要进展，但其数学理论的研究还不够完善。本项目拟深入研究无界Hamilton算子的谱分布和点谱的渐近性，从多个角度刻画其广义本征函数系的块状基性质：利用Hamilton算子矩阵内部算子的特性，研究其谱的分布、预解集非空、Hilbert-Schmidt性、紧性、点谱和广义本征函数系的渐近性；研究多项式算子族的谱性质与广义本征函数系的基性质，刻画Hamilton算子广义本征函数系的块状基性质；从积分方程角度，建立Hamilton核积分算子的本征值理论；利用有限差分理论，研究离散Hamilton算子的谱性质与广义本征函数系的块状基性质，逼近无界Hamilton算子的相应性质；综合运用算子理论、有限差分和复分析方法，对辛体系中有代表性的无界Hamilton算子进行相应研究。本项目的成功实施，不仅能为辛体系方法提供理论基础，而且能为某些非自伴问题的研究提供新的思路。

本项目从算子理论和应用力学角度出发, 深入研究了无界Hamilton算子的谱性质和广义本征函数系的块状基性质。结合矩阵多元多项式带余除法，建立了二维八次对称平面弹性力学问题的Hamilton系统，证明了相应的无界Hamilton算子广义本征函数的完备性，给出了该问题的解析解，进一步基于辛体系方法给出了Laue 15类准晶平面弹性力学问题的最终控制微分方程，解决了北京理工大学范天佑教授团队于2003年提出的公开问题；建立了源于薄板弯曲问题、屈曲问题和自由振动问题的一类控制微分方程的辛体系方法，求解了导出的无界Hamilton算子的本征值和广义本征函数系，证明了广义本征函数系形成Hilbert空间的一组块状基，进而根据辛叠加方法给出了四边固支弹性薄板的弯曲、屈曲和自由振动问题的解析解，并进行了充分的数值模拟；基于Hamilton算子矩阵诱导的多项式算子族的本征值问题，讨论了该算子矩阵点谱的性质、广义本征函数系的块状基性质及应用；还对一些具体力学模型导出的无界Hamilton算子进行了分类研究。项目组利用无界Hamilton算子的结构特性，得到了Hamilton算子的拟谱、拟预解集、拟点谱和拟剩余谱的并集、拟连续谱分别关于复平面虚轴对称的重要结论，利用对角算子的信息刻画了对角型Hamilton算子矩阵和上三角型Hamilton算子矩阵拟谱的分布，研究了稠定闭线性算子的精细拟谱；通过分析双结构矩阵的结构特点，研究了双结构矩阵的结构拟谱，解决了美国学者Richard Ferro和英国学者Jani A. Virtanen提出的一个公开问题；项目组还讨论了Hamilton算子的广义弱预解逼近和2×2算子矩阵的本质谱等问题。本项目的研究成果为钟万勰院士的专著《弹性力学求解新体系》提供了理论基础，为某些非自伴问题的研究提供了新思路。项目执行期间已公开发表学术论文14篇, 其中高水平论文6篇。