随机双曲型偏微分方程的控制和观测

This project is addressed to the study of the controllability problems, observability problems， stabilization problems, optimal control problems and inverse probelms of forward stochastic hyperbolic equations. We shall prove that the first order stochastic hyperbolic systems and the second order stochastic hyperbolic equations are null controllable by the localized boundary controls in the drift term. We shall also prove that they are exact controllable via a boundary control in the drift term and an internal control in the diffusion term. Meanwhile, we will study the optimal control problems for these systems and establish the Pontryagin-type maximum principle. Further, we will study the stabilization problems for these systems and show that these systems are exponential stablility and logarithmic stability under suitable feedback controls, respectively. At last, we will establish some methods to obtain the unknown initial state or coefficients of these systems by means of boundary observations or internal observations.

本项目拟研究正向随机双曲型方程的能控性、能观性、能稳性、最优控制以及反问题。我们期望分别证明一阶正向随机双曲型方程组和二阶正向随机双曲型方程在漂移项中的边界控制作用下是零能控的而在漂移项中的边界控制和扩散项中的内部控制的作用下是精确能控的。同时，我们将研究上述方程组和方程的最优控制问题，建立刻画最优控制的Pontryagin型最大值原理。其次，我们还将研究它们的能稳性问题，证明在我们所选择的不同的反馈作用下方程(方程组)的解是指数稳定的和对数稳定的。最后，我们将探讨上述方程和方程组的状态观测和系数识别问题，期望建立起从边界或内部观测来得到未知的初始状态或低阶项系数的方法。

本项目研究了正向随机双曲型方程的能控性、能观性、能稳性、最优控制以及反问题。我们分别证明：1) 一阶正向随机双曲型方程组在漂移项中的边界控制作用下是零能控的而在漂移项中的边界控制和扩散项中的内部控制的作用下是精确能控的；2) 二阶正向随机双曲型方程即便在漂移项和扩散项中处处施加内部控制的作用下也不是精确能控的；3) 提出修正的随机波方程模型并证明该修正模型在漂移项中的边界控制和扩散项中的内部控制的作用下是精确能控的；4) 建立了刻画上述方程组和方程的最优控制的Pontryagin型最大值原理；5) 证明了上述方程指数能稳等价于一类算子值Lyapunov方程的适定性并在一定条件下证明了该Lyapunov方程的是适定的；6) 给出了通过边界和内部观测来识别方程和方程组的状态的方法。上述成果很好的帮助人们认识和理解了一阶随机双曲型方程组和二阶随机双曲型方程这两类重要方程（组）所描述系统的控制问题，丰富了随机偏微分方程的控制理论，加深了人们对随机偏微分方程及其控制问题的理解，同时对工程控制系统的设计有一定的指导意义。