几类具有密度抑制的趋化性模型的定性研究

Chemotaxis is a characteristic of an organism to make a biased movement based on the external stimulus. It helps the organism to find food and stay away from danger, which is of great significance to the survival and propagation of the organisms. Keller and Segel established the first mathematical model to describe the chemotaxis phenomenon, which has been widely concerned by biologists and medical scientists. Since then, a series of new models and mechanisms have been proposed to describe different chemotaxis phenomena.. This project intends to study two types of chemotaxis models with density-suppressed. The feature of these models is that the diffusion coefficient of cells depends on the concentration of chemicals. Different from the cases whose diffusion coefficient is either constant or depends on the cell density itself, the random diffusion of the chemotaxis model with density-suppressed motility may degenerate, which brings difficulties to mathematical research. At present, the research results on such models are rare. This project intends to study the following two problems:.(1) The global existence and large time behavior of classical solutions;.(2) The effect of the density-suppressed mechanism on the behavior of the solution.

趋化性是生物具有感受外界刺激而做出偏向性运动的特性，这种特性能帮助生物寻找食物并远离危险，对于生物的生存和繁衍有着重要意义。Keller 和 Segel 建立了首个数学模型描述趋化性现象，该模型受到了生物学、医学等领域专家学者的广泛关注。此后，学者们陆续提出了一系列新的模型和机制来描述不同的趋化现象。. 本项目拟研究两类具有密度抑制的趋化性模型，这两类模型的特征是细胞的扩散系数依赖于化学物质浓度。不同于扩散系数为常数或依赖于细胞密度本身的情况，具有密度抑制的趋化性模型的随机扩散可能会退化，为数学研究带来了许多困难，目前关于这类模型的研究成果还不多见。本项目拟研究如下两个方面的内容：.（1）经典解的整体存在性和大时间行为；.（2）密度抑制机制对解的性态的影响。

近半个世纪以来，生物受到外界刺激而做出偏向性运动的特性吸引了生物学、医学、传染病学等领域学者的浓厚的研究兴趣，并建立了一系列描述趋化现象的偏微分方程模型。这些趋化模型具有强烈的实际意义并在农业、渔业等众多领域有着重要的应用。因此，趋化模型的解的定性研究非常重要。目前对于趋化模型的研究主要集中在扩散系数为常数或依赖于细胞密度的情形。实际上，许多趋化模型的扩散系数也有可能依赖于化学信号，此时已有的研究方法大多不再适用，这就对数学研究提出了挑战。.本项目主要研究扩散系数仅依赖于化学信号的情形，目前这方面的研究结果还比较少。本项目考虑扩散系数依赖信号浓度的趋化性模型的解的有界性、大时间行为以及斑图形成。基于扩散系数依赖信号浓度带来的理论证明上的困难，本项目根据不同模型的具体结构，分别构造恰当的自伴算子，并采用加权能量估计和Moser迭代方法证明经典解的存在性。进一步，根据具体模型，采用过抛物正则性理论、半群理论、李雅普诺夫泛函与局部分岔理论等方法研究经典解的稳定性、收敛率与斑图动力学。借助数值模拟手段，本项目为理解周期性条纹结构的形成机理提供了数值模拟图，数值模拟的结果与实验结果相符，并且研究了趋化性在大数据网络中的应用。.此外，研究了随机干扰对偏微分方程组的解的存在性、唯一性及爆破准则的影响，该项研究成果可用于某些受到随机干扰的趋化模型的研究中。