随机非线性系统的有限时间稳定性及稳定化设计

随机非线性系统的稳定性理论和稳定化设计一直是工程和随机控制领域的研究重点。随机稳定性一般包括几乎处处稳定性、依概率稳定性和矩稳定性，这些稳定性刻画的是当时间趋向于无穷时系统轨道的渐近行为。毫无疑问，随机非线性系统的有限时间稳定性在理论和实际上都是至关重要的。本项目研究随机非线性系统的有限时间稳定性理论和稳定化设计方法。一方面，随机非线性系统有限时间稳定性的理论研究处于初始阶段，稳定性的判别准则尚未建立；另一方面，与稳定性理论相关的稳定化设计还是空白，期待做深入的研究。理论方面，本项目将给出有限时间稳定性的科学定义，证明随机非线性系统的有限时间稳定性判别定理，探讨有限时间稳定性和随机渐近稳定性的关系，建立去稳定化理论和设计方法；应用方面，基于有限时间随机稳定性定理，设计连续的状态反馈控制器使随机非线性系统成为有限时间稳定的系统，提出随机双积分型系统、随机严格反馈系统的有限时间稳定化设计方案。

动态系统由于受到随机噪声的影响或者由于存在模型设定的误差及测量误差，而演变为随机系统。在随机系统中，一类由伊藤随机微分方程表示的随机系统一直是理论研究和应用研究的重点。对于这类随机系统，随机稳定性不仅是系统状态重要的特征，也是一些随机控制的目标。. 古典的随机稳定性理论主要包括三种类型的稳定性，即几乎处处稳定性、依概率稳定性和矩稳定性，指数稳定性通常归结为几乎处处稳定性或矩稳定性。这些稳定性刻画了随机系统轨道的渐近行为，以及初始值的微小变化对系统轨道的影响。如果一个随机系统的状态在有限时间里收敛到均衡点，这种稳定性称为有限时间随机稳定性。毫无疑问，这种随机稳定性在理论及应用上都是至关重要的。. 本项目系统地研究了随机非线性系统的有限时间稳定性理论和有限时间镇定设计问题。具体来说，提出了随机非线性系统有限时间稳定性的概念，给出了有限时间随机稳定性的判别准则，即判别有限时间随机稳定性的李雅普诺夫定理。在此基础上，进一步推广了判别有限时间时间稳定性的李雅普诺夫定理。对于具有有限时间稳定性的随机系统，通过建立方程解关于初始值的连续依赖性定理，研究了随机停留时间期望的正则性质，即正定性、连续性、有界性和径向无界性，通过给出随机停留时间关于初始值条件期望的无穷小生成元，证明了有限时间随机稳定性的反定理。项目也研究了齐次随机非线性系统的有限时间稳定性理论，针对漂移和扩散系数具有负值齐次度的情形，以及仅在漂移系数具有负值齐次度情形，给出了判断有限时间稳定性的判别定理。在应用研究方面，利用虚拟控制设计方法和添加幂积分技术，对于高维严格反馈随机控制系统，给出了连续状态反馈有限时间镇定元的设计方法；对于高维欧拉型随机系统，以及高维下三角随机系统，也给出了有限时间稳定状态反馈控制元的设计方法。. 综上所示，通过系统的研究，随机非线性系统的有限时间稳定性的理论分析框架已经建立，一些随机系统的有限时间镇定元的设计方法被提出。随机系统的有限时间稳定性理论和镇定元设计方法已经在网络控制、机器人控制、飞行器控制方面得到应用，有些设计方法也被进一步推广和发展。我们相信，随着研究的深化，随机非线性系统的有限时间稳定性理论和控制设计方法，将会有更大的发展和更广泛的应用。