与曲率流相关的几类子流形问题

Geometry of submanifolds is an important research branch of global differential geometry, it plays important roles in geometric analysis and some other fields in mathematics, it also has many applications in theoretic phyiscs and some other subjects. In this project, we will study some classes of problems of submanifolds related to curvature flows, which include: we will study the Gauss curvature flow for compact convex hypersurface in Euclidean space and the Firey Conjecture in higher dimension, i.e., any compact convex hypersurface in Euclidean space will converge to a round sphere under Gauss curvature flow; we will study the flow by powers of the Gauss curvature for compact convex hypersurface in Euclidean space and the generalized Firey Conjecture; we will study the convergence and uniqueness of the curvature flow of higher order for the hypersurfaces in space forms; we will establish some Alexandrov-Fenchel type inequalities by exploring the inverse curvature flow for hypersurfaces in hyperbolic space; we will study the Willmore submanifolds in higher dimension, the generalized Willmore Conjecture and Willmore flow in higher dimension.

子流形几何是整体微分几何的重要研究内容，其研究不仅在几何分析等方面有重要作用，而且在理论物理等其它学科有很多应用。本项目主要研究与曲率流有关的几类子流形问题，包括：研究欧氏空间中紧致凸超曲面的Gauss曲率流和高维Firey猜想，即欧氏空间中紧致凸超曲面在高斯曲率流下唯一收敛到球面；研究欧氏空间中紧致凸超曲面的Gauss曲率的幂次流和广义Firey猜想；研究空间形式中超曲面的高阶曲率流及其收敛性和唯一性；通过研究双曲空间中超曲面的逆曲率流，建立最优Alexandrov-Fenchel型不等式；研究高维Willmore子流形，广义Willmore猜想和高维Willmore流。

本项目在下面五个方面取得一系列重要研究成果：.1. 曲率流的收敛性：对3维双曲空间中的曲面，研究非齐次速度函数的逆曲率流的收敛性和长时间解的存在性；研究双曲空间和球空间中曲面的收缩曲率流，得到高次速度函数的收敛性定理。.2. 用曲率流证明几何不等式：通过研究逆平均曲率流的收敛性，证明双曲空间中具有非负截面曲率超曲面的Alexandrov-Fenchel型不等式；证明Reissner-Nordström-anti-deSitter空间中平均凸星形超曲面的最优Minkowski型不等式，带权的Alexandrov-Fenchel型不等式，Penrose型不等式；研究双曲空间中超曲面的调和平均曲率流，证明Alexandrov-Fenchel型不等式。.3. 超曲面的刚性和分类研究：给出四维 Einstein 仿射球的完全分类，并提出高维分类问题的一个猜想；研究双曲空间和半球上测地球中自由边值极小曲面，得到Pinching定理；研究欧式空间中具有自由边界的毛细管超曲面， 给出一些稳定性结果；证明5维空间形式中双调和超曲面具有常平均曲率，在4维情形解决Balmus-Montaldo-Oniciuc猜想。.4. 曲率流的自相似解和曲率问题研究：研究 Kottler 流形中超曲面的逆平均曲率流，证明弱平均凸、星形超曲面的整体存在性和正则性，推广 Huisken-Ilmanen 的重要成果；研究warped product空间中星形超曲面， 证明具有预定曲率问题的存在性；研究(n+1)-维欧式空间中n维超曲面M的k-次平均曲率函数的幂次曲率流的自相似解，得到唯一性定理，当k=n时， 结果化为 Brendle-Choi-Daskalopoulos 的著名结果。.5. 黎曼流形和超曲面的几何结构研究：研究了黎曼流形上一类共形不变泛函的稳定性，证明n维复射影空间上的 Fubini-Study 度量是这类泛函的稳定临界点；给出仿射空间中一类Einstein仿射超曲面的特征刻画；研究具有常数量曲率的局部共形平坦的Riemannian流形，得到一些分类定理；研究复二次型中Lagrange子流形的几何结构，建立极小Lagrange子流形和超曲面的Gauss映照之间的联系。