均衡约束优化问题的二阶最优性条件和稳定性分析

Mathematical programs with equilibrium constraints have been receiving much attention in these years due to its wide applications in many fields such as economics and engineering. First order optimality conditions and numerical methods for mathematical programs with equilibrium constraints over polyhedral cones have been extensively studied. However, the research on the second order optimality conditions and stability analysis, which plays an important role in the convergence analysis of numerical methods for optimization problems, for mathematical programs with conic equilibrium constraints (including mathematical programs with equilibrium constraints over polyhedral cones, second order cones and semidefinite cones as special cases) is not enough. With the help of variational analysis theory, this project aims to derive the variational geometry of constraint sets of the mathematical programs with equilibrium constraints, including the tangent cone, normal cone and second order tangent set of second order cone complementarity sets and semidefinte cone complementarity sets. Based on the variational geometry established, we describe the second order optimality conditions for different types of stationary points, and establish the stability theory for mathematical programs with equilibrium constraints. We hope that the work in this project will make contributions to the theories of numerical methods for mathematical programs with equilibrium constraints.

均衡约束优化问题是目前非常活跃的研究领域，在经济和工程中都有广泛的应用。目前多面体锥上的均衡约束优化问题的一阶最优性理论和算法的研究非常成功，但是一般的锥均衡约束优化问题 (包括多面体锥、二阶锥和半定矩阵锥上的均衡约束优化问题为其特殊情况)的二阶最优性理论和稳定性理论的研究工作还不多，而这两方面理论与求解算法的收敛性分析有着密切的联系，因此研究均衡约束优化问题的二阶最优性条件和稳定性理论意义重大。本项目基于变分分析理论，建立均衡约束优化问题约束集合的变分几何，包括二阶锥互补集合和半定矩阵锥互补集合的切锥、法锥和二阶切集等。基于所建立的变分几何，刻画均衡约束优化问题的在不同意义下的稳定点处的二阶最优性理论，研究与稳定性理论和算法收敛性分析密切相关的稳定点系统的定量刻画的稳定性，从而建立均衡约束优化问题的稳定性理论，为均衡约束优化问题算法理论研究做出一定贡献。

均衡约束优化问题是一个非常活跃的研究领域，在经济和工程中都有广泛的应用。本项目主要研究一般的锥均衡约束优化问题 (包括多面体锥、二阶锥和半定矩阵锥上的均衡约束优化问题为其特殊情况)的最优性理论和稳定性理论，并基于这两种理论构造锥均衡约束优化问题的求解算法。对于多面体锥均衡约束优化问题，我们给出了M-稳定点处的二阶最优性条件，构造非精确Newton方法求解带有变分不等式约束的优化问题。对于二阶锥互补约束优化问题，我们推导出了A-,C-,M-,S-稳定点的精确表示形式和强弱关系，并引入二阶锥互补约束优化问题的几类不同的约束规范，建立了不同约束规范下的一阶最优性条件。作为二阶锥均衡约束优化问题的应用，我们考虑了一类目标函数和约束集合中参数都要调整的二阶锥规划逆问题，其本质上即为一个线性二阶锥互补约束的优化问题，采用光滑化Newton法求解该二阶锥互补约束优化问题，并给出数值算例验证了算法的有效性。对于半定矩阵锥均衡约束优化问题，我们推导了半正定矩阵锥的法锥的图的切锥和内切锥的精确表示形式，同时引入半定矩阵锥互补问题的几类约束规范，建立了几类约束规范之间的强弱关系，及在这几类不同约束规范下的一阶最优性条件。我们将半定矩阵锥互补约束写成了不等式的形式从而得到了一个一般的半定规划问题，给出了在没有严格互补约束条件下，经典KKT点处的二阶最优性条件。最后，我们考虑了一类半定规划逆问题，其本质上是一类带有线性半定矩阵互补约束的优化问题，采用惩罚序列凸规划算法求解该问题，并给出了数值算例。