糖酵解模型奇异性分歧的平衡解和周期解

Glycolysis models, which come from the typical glycolysis reaction in biochemical field, have obvious practical background and application prospect. The research on the bifurcation for glycolysis models has received significant attraction as a hot topic in the nonlinear science. At present, the main works for steady-state solutions and periodic solutions are simple static bifurcation and Hopf bifurcation, respectively. However, the bifurcation with singularity is a difficult problem involved in some literatures and our works. Therefore, by combining Lyapunov-Schmidt reduction method with singularity theory for the first time, the existence, uniqueness, multiplicity and stability of steady states are analyzed from the perspective of singularity static bifurcation. The existence, multiplicity and stability of periodic solutions of singularity Hopf bifurcation are discussed on the basis of the center manifold theory, singularity theory and numerical simulation. Meanwhile, the influences of model parameters on competition and coexistence phenomenon and spatiotemporal oscillating phenomenon in glycolysis are illustrated. In a word, the project has new research idea for the challenge problems about singularity bifurcation, whose results are helpful to enriching the dynamics theory of reaction diffusion system, and have important significance to understand the chemical process of biological phenomena and study the relevant problems in the application fields.

糖酵解模型来源于生化领域中典型的糖酵解反应，具有明显的实际背景和应用前景，其动力学分歧已成为非线性反应扩散系统领域中倍受关注的热点问题。目前，从分歧角度研究平衡解和周期解的主要方法是经典的单重分歧理论和Hopf分歧理论，而关于具有奇异性的分歧问题是一些文献涉及且未解决的难题，也是我们前期研究过程中遇到的棘手问题。本项目首次将Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论相结合分析糖酵解模型奇异性静态分歧的平衡解的存在性、唯一性、多重性和稳定性；综合运用中心流形理论、奇异性理论和数值模拟技术研究奇异性Hopf分歧的周期解的存在性、多重性和稳定性；揭示模型主要参数对糖酵解过程中反应物的竞争共存现象和时空振荡现象的影响。本项目的研究对尚待解决的奇异性分歧问题提供新的研究思路，这不仅可以丰富反应扩散系统的动力学理论，也对生命现象中化学过程的认知和相关应用领域的研究具有重要的意义。

本项目主要研究几类反应扩散方程平衡解和周期解的定性性质，如存在性、多重性和稳定性。在Neumann边界条件下，利用特征值理论分析了具有奇异性的糖酵解模型常数平衡解的稳定性，将Lyapunov-Schmidt约化方法和奇异性理论相结合研究了该模型单重特征值和二重特征值处的平衡态分支的存在性、多重性和稳定性，运用Hopf分歧理论和范式方法讨论了空间齐次和非齐次周期解的存在性和稳定性，并利用数值模拟技术补充证实理论结果。对于具有奇异性的Langford模型，在Neumann边界条件下，利用Lyapunov-Schmidt约化方法给出ODE模型平衡解的存在性和稳定性，运用中心流形理论和范式理论给出Hopf分支的方向和稳定性，而关于PDE模型，利用经典的分歧理论分析了单重特征值处的平衡态分支，运用空间分解方法和隐函数定理讨论了二重特征值处的平衡态分支，同时给出Hopf分支的存在性和空间齐次、非齐次周期解的稳定性。综合运用泰勒展式、Von Neumann条件和Fourier分析法延拓研究了糖酵解模型的有限差分格式的一致性、稳定性和收敛性，并赋予数值实验。运用特征值理论和Lyapunov函数构造法研究了一类具有阶段结构的捕食模型的非负平衡解的局部和全局渐近稳定性。另外，该项目研究了有关微分方程解的定性性质和数值分析。利用Riccati变换和函数构造法分析了时滞微分方程的振动性，运用相似变换和有限元理论分别讨论了对流扩散微分方程近似解的存在性和局部间断有限元方法的收敛性。这些问题具有强烈的生物学和物理背景，研究成果能帮助我们更好地理解各个科目之间的关系，研究方法和内容在一定程度上能丰富和完善偏微分方程的动力学理论。