两参数Fleming-Viot过程的相关问题

Fleming-Viot process is a measure-valued Markov process which describes the evolution of population genetics. Its stationary distribution is the distribution of Dirichlet process. Pitman generalizes Dirichlet process to the two parameter situation, called two-parameter Dirichlet process. One natural question is the existence of a two-parameter Fleming-Viot process whose stationary distribution is the distribution of two-parameter Dirichlet process? This project aims at solving this problem and attempts to construct a two-parameter particle representation and a permutation process. If the existence of two-parameter Fleming-Viot process is shown, then it will give a good biological explanation for two parameters. Moreover,particle representation is a nice tool of understanding Fleming-Viot process. When we look forward in time, we get Fleming-Viot process; when we go backward in time, coalescence shows up. If we can successfully find the permutation process, then we can generalize the invariance of GEM to atomic diffusion.

Fleming-Viot过程是一个描述种群基因随时间进化的测度值马氏过程，其平稳分布就是Dirichlet过程的分布。后来，Pitman推了广Dirichlet过程，进而得到两参数Dirichlet过程。自然的问题是以两参数Dirichlet过程的分布为平稳分布的测度值过程(本项目中称为两参数Fleming-Viot过程)是否存在？本项目就是试图构造这一过程，同时构造两参数的粒子表示以及与原子过程相关的置换过程。如果两参数Fleming-Viot过程构造成功，将会全面给出各个参数的遗传学意义。另外，粒子表示是一个理解Fleming-Viot过程的良好工具。当沿时间往前看时，我们得到Fleming-Viot过程；往回看时，我们得到遗传学中重要的溯祖过程。最后，若能成功找到置换过程，本项目将会把GEM分布的不变性推广到原子过程上来。

本项目主要研究了两参数 Fleming-Viot 过程的构造问题，他是一参数 Fleming-Viot 过程的一个自然推广。一参数 Fleming-Viot 过程是种群遗传学中的一个重要模型，并且在统计学等相关领域有重要应用。本项目从交互粒子系统出发，通过推广 Donnelly-Kurtz 交互粒子模型得到一个两参数交互粒子系统，然后证明该粒子系统的经验测度收敛于一个测度值过程，这个测度值过程就是两参数 Fleming-Viot 过程。注意到 Blackwell-MacQueen 模型嵌套在粒子系统中，进而得到两参数 Fleming-Viot 过程转移函数的显式表达式。最后，我们也注意到一参数 Fleming-Viot 过程和两参数 Fleming-Viot 过程的祖先数是同一个过程。因此，我们对于 Kingman 溯祖过程的渐近性质进行了详细的研究。本项目中的研究结果将对统计学中的一些问题有一些促进作用。