两类流体模型的相关问题研究

The project will study some related problems of two kinds of fluid models. The first one is a model derived from the Euler equations with external force，and is a reasonable generalization of the Euler equation without external force. With this study, it is helpful to explore the solutions of the Euler equations with external force, and it is expected to find some new phenomena that do not appear in the Euler equation without external force. We mainly study the one and two dimensional Riemann problems. The second one is the Navier-Stokes equations for a Chaplygin gas. The Navier-Stokes equations are a class of equations describing the motion of viscous fluid, and have been studied for a long history, however, the investigations are mostly focused on the polytropic gas. This study can enrich the research results of the Navier-Stokes equations. We mainly discuss the vanishing viscosity problem.

本项目拟对两类流体模型相关问题进行研究。第一类是带外力欧拉方程的一个转化模型，它也是零外力欧拉方程的一个合理的推广，此项研究有助于探索带外力欧拉方程的解，并有望发现一些在零外力欧拉方程中没有出现的现象，我们主要研究其一维和二维Riemann问题。第二类是带Chaplygin气体压力的Navier-Stokes方程，Navier-Stokes方程是描述粘性流体运动的方程组，研究历史悠久，但已有研究大都集中在多方气体，通过此项研究，可丰富Navier-Stokes方程的研究结果，我们主要研究粘性消失问题。

拟线性双曲守恒律理论在数学基础研究和实际应用方面都有着重要的意义。本项目针对一些拟线性双曲守恒律系统的Riemann问题开展研究，主要包括 Cargo-Reloux模型、 带间断系数标量守恒律、LeRoux系统、Liou-Steffen压力系统、带外力零压Euler方程和Aw-Rascle模型。获得了一系列有趣的成果，主要有：1）澄清了零压和Chaplygin压力下的一维Cargo-Reloux模型的Riemann 解的各种不同的结构，发现了接触Delta-波和非压缩Delta-波，2）澄清了带间断系数标量守恒律、LeRoux系统和Liou-Steffen压力系统的二维Riemann问题解的结构，发现了一些新型结构，为研究Euler方程和Cargo-Reloux模型的二维Riemann 问题奠定了基础，3）解决了带有外力的零压Euler方程的一维和二维Riemann问题，提供了研究非齐次守恒律系统的有效方法，4）澄清了Aw-Rascle模型的二维Riemann问题解的结构，为研究二维交通问题提供了数学理论。