Fleming-Viot测度值随机过程与双倍体种群遗传模型

The Fleming-Viot measure-valued stochastic process is probability-measure-valued stochastic process arising from population genetic models. It describes the evolution of relative frequencies for different types of alleles in a large population that undergoes resampling together with possible mutation, selection and recombination. ..Our research focus on the geometric property of support for measure-valued stochastic processes and the ancestral process for population genetic models. Firstly, we discuss the support properties of Fleming-Viot measure-valued stochastic process, including the exact Hausdorff dimension, the Hausdorff measure function, the growth rate for the support and the support propagation property for super Levy process etc. Secondly, we apply the theory of dual coalescent process for Fleming-Viot measure-valued stochastic process to describe the classification of the ancestral structure for a sample of genes in diploid population model when the total population size is sufficiently large. ..Our research will enrich the theory of measure-valued stochastic process and promote the development of cross discipline between Mathematics and Biology.

Fleming-Viot测度值随机过程是源自种群遗传模型的取值为概率测度的随机过程。一个大样本数量的生物种群繁衍后代，且繁衍过程中可能出现基因变异、选择和重组。Fleming-Viot测度值随机过程描述这样的种群里不同种类基因相对比例的演变。. 我们的研究集中在测度值随机过程支撑的几何性质和种群遗传模型的溯祖过程。首先，我们讨论Fleming-Viot测度值随机过程支撑的性质，包括确切的Hausdorff维数、Hausdorff测度函数、支撑的扩展速度、超Levy过程支撑的瞬间扩张性质等。其次，我们利用Fleming-Viot测度值随机过程的对偶聚合（coalescent）过程的理论知识，来描述样本数量足够大的双倍体种群遗传模型里关于选定样本基因中所蕴含的祖先基因过程的构造。. 该项研究将丰富测度值随机过程的理论知识，促进数学与生物交叉学科的发展。

Fleming-Viot测度值随机过程是源自生物种群遗传模型的取值为概率测度的随机过程，用来描述不同种类基因的相对比例演变。我们主要研究了Stepping Stone测度值随机过程的性质和双倍体种群遗传模型溯祖过程的刻画。我们从对偶过程定义广义Stepping Stone测度值随机过程的各阶矩，且利用Hausdorff多重矩存在性公式证明这种定义方式是完好的，并讨论了这类过程的平稳分布与不可逆性。对于生物种群遗传模型，我们刻画了双倍体Canning’s模型的溯祖过程收敛到多重Xi-Coalescent，并利用我们的结论分别构造出收敛到二重和四重Beta-Coalescent的双倍体种群遗传模型。. 研究随机微分方程解的性质也是随机分析中一项重要内容。我们分别构造无限和有限分支粒子系统逼近具有耦合作用的正倒向随机微分方程的解，其中粒子的权重和位置由随机微分方程来控制的，并确定了该逼近解的收敛速度。此外，本项目还研究了几类金融模型的期权定价。. 该项研究具有丰富的理论意义和实用价值。广义Stepping Stone测度值随机过程的研究填补了测度值理论研究的空白。双倍体种群遗传模型溯祖过程的研究促进了数学与生物交叉学科的发展。正倒向随机微分方程的分支粒子系统逼近解给出了实际中具体方程可以模拟的数值解。期权定价对于金融衍生品的买进、卖出以及风险规避具有一定的指导意义。