几类高阶非线性行波方程的精确解,分支和复杂动力学研究

For some high-order nonlinear wave equations, by using the method of dynamical systems, we investigate the dynamical behavior for their corresponding travelling wave systems. Especially, for some four-order integrable systems, we may find interesting exact explicit priodic and quasi-periodic solutions, homoclinic or heteroclinic orbit families, as well as some unbounded travelling wave solutions. For perturbed integrable systems, we consider the persistence problems of homoclinic family and heteroclinic family. In addition, we discuss the chaotic dynamics for these systems. We try to develop the chaos theory of rank-one mapping posed by Prof. Wang, Q. D. etc. to the above four-order travelling wave systems. For a lot of nonlinear wave systems, such as coupled nonlinear Schrodinger equations, cubic and quintic Ginzburn-Landan equations, coupled generalized KdV equations, diffusion-convection-reaction equations, we investigate the dynamical behavior of solutions of their travelling wave systems and find periodic solutions, quasi-periodic solutions, the existence of homoclinic and heteroclinic manifolds.

应用动力系统方法研究几类高阶非线性行波方程的精确解和动力学性质。对某些4维可积系统发现系统的精确周期解、拟周期解和同宿、异宿环族。对扰动的可积系统研究同宿、异宿环族的持续性问题和混沌动力学，尝试秩为1的映射理论可能的发展和应用。对于许多具有重要物理意义的非线性波方程，如藕合的非线性Schrodinger方程, 三次和五次Ginzburn-Landan方程, 藕合的广义KdV方程，反应-扩散-对流方程等，研究二维和高维非可积行波系统的解的动力学性质，特别是系统的周期解、拟周期解和同宿、异宿分支和新的混沌动力学。

本项目得到的主要成果如下：.（1）对于物理上有重要应用的几类非线性波方程，如离散的非线性电力传输模型，氢离子链中离子传输过程模型，色散項变为带核的非局部积分的广义非线性Schrodinger方程，对偶Ito方程，退化的耦合的、秩为1的多重KdV系统等，应用动力系统方法研究了它们的精确解和动力学性质。得到系统的尖孤子解，周期尖波解，紧解，周期和拟周期解，孤立波解，同宿和异宿流形的精确参数表示。. （2）对几类四阶可积系统，应用动力系统方法研究了它们在不变流形上的精确解和分支。. （3）对于二阶周期扰动系统, 给出了任意高阶Melnikov函数的理论表达式。通过细心的分析和艰苦的计算，得到二阶Melnikov函数的值，并判断同宿轨道稳定流形和不稳定流形的横截相交性。 这一理论拓广了一阶Melnikov函数判别法。.对于上述研究成果，我们在国际SCI期刊上共发表学术论文15篇。其中，有2名博士研究生和1名硕士研究生的学位论文均来源于此项目。