辫子交叉范畴和3-维流形的量子不变量

Braided crossed categories, which not only are important objects in the theory of Hopf algebra but also have wide applications in many fields, play a key role in the construction of quantum invariants for 3-dimensional manifolds. This project will devote to the braided crossed category theory and the applications on quantum invariants for 3-dimensional manifolds. The main research contents of this project are as follows: (1) The structures and properties of categories of Hom-entwined modules and Hom-Long dimodules; (2) The representation categories of smash (co)products of Hopf group coalgebras and Hom-Hopf algebras; (3) The ribbon categories by weak Hopf group coalgebras and group-cograded multiplier Hopf algebras and the set of Kirby elements on them. On the one hand, the above research enriches the braided crossed category theory in Hopf algebras, and on the other hand, it provides a new idea for studying the quantum invariants for 3-dimensional manifolds and knot theory.

辫子交叉范畴在构造3-维流形的量子不变量中起着关键作用。它不仅是Hopf代数理论中的重要研究对象，而且在许多领域内都有重要应用。本项目主要研究辫子交叉范畴及其在3-维流形的量子不变量中的应用，主要研究内容有：（1）Hom-缠绕模范畴和Hom-Long dimodules范畴的结构和性质的刻画；（2）（余）冲积Hopf群余代数和Hom-Hopf代数的表示范畴；（3）弱Hopf群余代数和群余分次乘子Hopf代数上新的ribbon范畴，及其上的Kirby元素集合。这些研究内容一方面丰富了Hopf代数中的辫子交叉范畴理论，另一方面为3-维流形的量子不变量和扭结理论的研究提供了新思路。

Hopf代数起源于对代数拓扑和代数群的研究,与量子群,李代数紧密相连.目前,Hopf代数有多种形式的推广,Hom-Hopf代数就是其中之一.本项目从Hopf代数的角度,以模论和范畴理论为主要工具,研究了辫子交叉范畴以及辫子交叉范畴在构造量子不变量中的作用等,涉及Hom-结构的研究,辫子交叉范畴的研究和量子不变量理论方面.研究内容包含以下几个方面：. (1)首先研究了Hom-Lie-Yamaguti代数的线性形变问题,引入了Hom-Nijenhuis算子的概念,得到了Hom-Lie-Yamaguti代数上的Hom-Nijenhuis算子可以生成平凡的线性形变,同时讨论了其上的积结构和复积结构;其次得到了一类带有Hom-Hopf模的既是Hom-模余代数又是Hom-余模代数的Hom-双代数的分解,进而讨论了这类Hom-余模代数和cleft扩张之间的关系;最后讨论了关于Frobenius Hom-代数和Connes余循环的二重构造问题.(2)首先,引入一类包含整数参数的Hom-Yetter-Drinfeld模范畴,证明该范畴是一个辫子张量范畴,并在这个范畴上获得了类似于普通Yetter-Drinfeld模范畴具有的关于对称性的结论,证明了若辫子在Yetter-Drinfeld模Hom-代数A上对称,则可以通过A的广义交换子生成一个H-李代数;其次,在monoidal Hom-Hopf代数中引入了纯lazy2-余循环的概念,讨论它的一些相关性质,并把这一概念推广到Radford(m,n)-双积上.