随机几何奇异摄动理论及应用

Dynamical system, which dated back as early as the beginning of 20th century and people as Poincare and Lyapunov, is a research field focusing on the dynamical behavior as time passes of systems under forces. Random dynamical systems extend the classical meaning of forces, and study random influences. One of the very important topic of dynamical systems and random dynamicals is about global perturbation. We will focus on random singular perturbation problem. Singular perturbation is closely related to multi-scales. It has broad applications, mainly for the reason that there usually involves multi-scales in complex process in the real world. Also, many processes involve randomness or stochaticity. We aim at establishing a more applicable random geometric singular perturbation theory than what it is now. We will study the related random dynamical bifurcations, will understand real models with two methods, say random invariant manifold method and that of the exit measure, trying to combine the two totally different methods and invent new methods.

动力系统研究外力作用下随时间演化的系统的动态行为，最早追溯到20世纪初的庞卡莱，李雅普诺夫等。随机动力系统推广了外力的范畴，研究随机因素。动力系统和随机动力系统领域一个很重要的问题是全局扰动。本课题的主要研究对象是随机全局扰动中的奇异摄动问题。奇异摄动是指与多尺度紧密相关的问题，在其他学科中有非常广泛的的应用。主要原因是实际演化过程往往具有多尺度的特征，并伴随一定的随机性。本课题的主要目标是在已有的基础上建立更加完善的随机几何奇异摄动理论，研究其中相关的随机动态分支问题，并从随机不变流形和逃逸测度两个方面研究具体的模型，找到不同方法的结合点，争取发展出融汇后的新方法。

动力系统研究外力作用下随时间演化的系统的动态行为，最早追溯到20世纪初的庞卡莱，李雅普诺夫等。随机动力系统推广了外力的范畴，研究随机因素。动力系统和随机动力系统领域一个很重要的问题是全局扰动。本课题的主要研究对象是随机全局扰动中的奇异摄动问题。奇异摄动是指与多尺度紧密相关的问题，在其他学科中有非常广泛的的应用。主要原因是实际演化过程往往具有多尺度的特征，并伴随一定的随机性。本课题的主要目标是在已有的基础上建立更加完善的随机几何奇异摄动理论，研究其中相关的随机动态分支问题，并从随机不变流形和逃逸测度两个方面研究具体的模型，找到不同方法的结合点，争取发展出融汇后的新方法。.该项目取得了丰富的成果。1.建立了一系列分数随机方程的适定性；2.首次采用多尺度方法研究了一类扰动时滞型Camassa-Holm方程的孤立波存在性；3.建立了Degasperis-Procesi方程孤立波的谱稳定性；4.利用多尺度方法研究了几类问题的特殊解的存在与不存在性。该项目的成果极大的丰富了多尺度方法，尤其是（随机）几何奇异摄动的理论框架和应用范围。