变分方法和几何奇异摄动理论及其在微分方程中的应用

微分方程是研究力学、天文以及物理等自然科学的强有力工具。运用变分方法和几何奇异摄动理论研究非线性微分方程是当前微分方程的一个非常活跃的课题。本项目拟开展如下研究：.1、运用变分方法得到新的临界点定理,推广一些临界点定理，在此基础上研究非线性微分方程边值问题解、正解和多个正解的存在性；2、把多个临界点定理有机结合，利用极小极大原理以及Mosre理论等研究二阶Hamilton系统、拟线性微分方程和椭圆型微分方程特征值问题；3、运用几何奇异摄动理论研究快慢动力系统的动力学特性，结合不变流形理论，研究高维动力系统的动力学特性。.本项目将对非线性微分方程的发展起促进作用，也将丰富和扩展临界点理论与奇异摄动理论的应用范围，具有重要的意义。

本项目运用奇异摄动理论和上下解方法研究具有非线性边界条件的三阶微分方程奇异摄动边值问题，通过构造合适的强非线性微分方程的上下解，得到了解的存在性、唯一性，并给出了摄动解的一致有效的渐近估计；综合运用几何奇异摄动理论、线性链技巧和Fredholm定理等，研究不含时滞、带有局部时滞内核和带有非局部时滞内核的三种情况下的广义KdV-mKdV 方程，得到了该方程在三种情况下行波解的存在性；运用摄动方法研究含有双参数的厄尔尼诺南方涛动时滞海-气振子模型和厄尔尼诺/拉尼娜南方涛动大气物理海-气振子模型，得到模型的渐近解，并通过数值模拟说明渐近解具有很好的精确度；运用Ricceri临界点定理、拓扑度理论等研究非线性微分方程多点边值问题，得到了多解的存在性；运用迭合度理论研究核空间维数为三的情况下的三阶非线性微分方程共振边值问题，克服一个很强的限制条件，得到了解的存在性；运用迭合度理论证明了时滞竞争捕食动力系统的持续生存, 正周期解的存在性, 唯一性与全局渐进稳定性等；运用微分不等式理论、比较原理和分析技巧等，并构造恰当的Lyapunov泛函，得到了多种群竞争捕食系统概周期解的存在性、唯一性以及全局渐近稳定性。.项目组在科学出版社出版专著《奇异摄动中的微分不等式理论》1部，本书系统介绍了研究奇异摄动问题的微分不等式理论和方法，运用微分不等式理论研究常微分方程奇摄动问题，时滞方程与偏微分方程奇摄动问题以及微分不等式理论的新发展以及一些应用实例。在《Appl. Math. Modelling》、《Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S》、《J. Comput. Appl. Math.》、《Appl. Math. Comput.》、《Appl. Math.》等期刊上发表学术论文22篇，其中被SCI检索19篇；项目组培养10名硕士研究生，并获得2013年度江苏省优秀硕士学位论文和江苏师范大学优秀硕士学位论文各1篇。