奇异摄动理论及其在动力系统中的应用

奇异摄动理论和方法在许多学科的众多研究领域中占有重要地位，它与流体力学、量子力学、生物化学中带小参数的微分方程紧密联系。近年来运用奇异摄动理论研究动力系统和奇异摄动微分系统是奇异摄动问题研究的主流方向。.本课题主要研究下列两类问题：1、利用几何奇异摄动理论，通过降低原来系统的维数，得到多个时间尺度的子系统，分别研究这些简化系统的动力学性质，通过拼合它们的轨道进而研究原来高维复杂动力系统的动力学性质。2、研究非线性微分方程奇异摄动系统问题，讨论比较方程的特征值问题，进而给出奇异摄动系统问题一致有效的渐近解，并试图将中心流形理论运用到测度链上动力系统的研究。.本课题的研究对于奇异摄动理论和常微分方程与动力系统，都具有重要的意义。

课题组全面完成任务书中各项任务，在科学出版社出版《奇异摄动中的微分不等式理论》专著1部，发表科研论文31篇，被SCI检索26篇，新获省部级项目3项。负责人杜增吉先后入选江苏省“333高层次人才培养工程”中青年科学技术带头人、江苏省“青蓝工程”中青年学术带头人等培养对象，获得江苏省教学成果奖1项；培养硕士研究生17人，3篇论文被评为江苏省和江苏师范大学优秀硕士学位论文；项目主要成员到美国高校进行为期三个月的访问学习；成功组织举办“2011年全国奇异摄动理论和应用研讨会”。. 本课题主要研究四类问题：1、运用奇异摄动理论、非线性分析理论研究二阶非线性微分方程奇异摄动问题、奇异摄动分数阶Logistic方程的初值问题、具有两个转向点的大参数奇异摄动方程、非线性奇异摄动系统等，得到摄动解的存在性、唯一性以及渐近解。2、运用奇异摄动理论和方法研究厄尔尼诺南方涛动时滞海-气振子模型渐近解，给出了耦合振子模型行波解的渐近解法，通过数值模拟说明渐近解具有很好的精确度；运用渐近方法研究非线性扰动发展方程的近似解，利用不动点定理指出近似级数的收敛性，并进行数值模拟。3、研究生物种群模型。以经典生态模型Lotka-Volterra种群模型为基础，进一步考虑时滞，相互干扰，功能函数，反馈控制等作用，运用几何奇异摄动理论，重合度理论，构造恰当Lyapunov 泛函方法证明了生态种群的持续生存，正周期解的存在性,唯一性与全局渐进稳定性；给出了多种群竞争捕食系统和具有Beddington-DeAngelis型功能反应的捕食种群动力系统的持久性、概周期解的存在性、唯一性以及全局渐近稳定性的充分条件，并通过数值模拟验证结论，获得新的研究成果。4、研究非线性微分方程共振边值问题，提出了一种同构方法，去掉以前文献中的一个很强的条件，运用Mawhin迭合度理论得到了三阶和高阶微分方程共振边值问题解的存在性。