多项式特征值问题的灵敏度分析与数值方法研究

The polynomial eigenvalue problems arise widely in a variety of applications, such as structural design, fault diagnosis, optimum control and so on. Due to the nonlinearity of the problems, the great challenges are encountered in theoretical study and algorithm design for the polynomial eigenvalue problems. In this project, we research the sensitivity analysis of the polynomial eigenvalue problems, including the theory of semisimple multiple eigenpairs and the defective eigenpairs and the calculation of the eigenpair derivatives. We develop the deflation of the polynomial eigenvalue problems, and analyze the numerical stability of the new technology. For the large scale or high order polynomial eigenvalue problems, we research how to improve the efficiency of the contour integral method, including the selections of different integrands and the calculation of numerical integration. We present a novel method to find all eigenvalues of the large scale polynomial eigenvalue problems in a specific region. The results obtained will enrich and develop the theory and methods of numerical algebra and matrix analysis, and provide the efficient algorithms for solving the polynomial eigenvalue problems for the researchers in related fields.

多项式特征值问题广泛出现在结构设计、故障诊断和最优控制等诸多应用领域。由于问题的非线性性，使得多项式特征值问题的理论研究和算法设计具有很大的挑战性。本项目拟研究多项式特征值问题的灵敏度分析，包括半单重特征对和亏损特征对的理论以及特征对导数的计算；发展多项式特征值问题的收缩技术，并分析该技术的数值稳定性；针对大规模或高阶多项式特征值问题，研究如何提高围道积分方法的有效性，包括不同被积函数的选取以及数值积分的计算；探索大型多项式特征值问题在某一特定区域内所有特征值的新方法。该项目的研究成果不仅能丰富和发展数值代数、矩阵分析的理论和方法，而且也为相关领域的研究人员提供求解多项式特征值问题的有效算法。

特征值问题在诸多应用领域有着广泛的应用。本项目主要研究了多项式特征值问题的灵敏度分析以及求解多项式特征值问题的围道积分方法。利用特征值问题特征对灵敏度理论，并结合相应的特征对灵敏度的数值算法，重点给出了多项式特征值半单重特征对和亏损特征对的灵敏度理论以及相应的特征对导数计算的数值算法。基于已有的围道积分方法，提出了计算多项式特征值问题在半开平面内所有特征值的围道积分方法，同时发展了求解大规模多项式特征值问题的围道积分方法。除此之外，在本项目还研究了其他相关的矩阵计算问题，包括求解高效求解大规模非线性特征值问题的算法以及系统极点配置问题等，具体地，发展了大规模非线性特征值问题的改进的Newton方法、逐次线性牛顿插值方法以及非精确的逐次近似方法。这些工作不仅能丰富和发展矩阵特征值问题、矩阵分析的理论和方法，而且为未来更多应用领域问题的高效能算法研究提供了数学基础。.