传输特征值问题的数值方法研究

The transmission eigenvalue problem plays an important role in the inverse scattering and related applications. The project will focus on theory, numerical method and convergence analysis for two transmission eigenvalue problems: the acoustics transmission eigenvalue problem and the fluid-bone interaction transmission eigenvalue problem. Since the transmission problem is nonstandard, classical finite element methods result in non-Hermitian matrix eigenvalue problems, which is very difficult in numerical linear algebra when the sizes of the matrices are large. As the first part of the project, using the associated generalized eigenvalue problems, we construct functions whose roots are the transmission eigenvalues. Then, we use iterative method to obtain the roots and prove the convergence of the methods. For the second part, we formulate the transmission eigenvalue problem as an equivalent homogeneous system of boundary integral equation and prove that the operator associated with this system depends analytically on the wave number. Then we show that the set of transmission eigenvalues is discrete. Finally, we use boundary element methods to compute the eigenvalues. The outcome of this project can provide new and efficient tools for other eigenvalue problems as well, for example, transmission eigenvalue problems in elastic and electromagnetic scattering.

传输特征值问题的研究对逆散射理论的完善和发展起着重要作用。本项目围绕两类传输特征值问题展开研究，一类是声波传输特征值问题，另一类是fluid-bone传输特征值问题，设计数值算法并进行必要的理论分析。通常传输特征值问题是非自伴的，利用传统的有限元方法会产生非厄尔米特矩阵，因此当矩阵规模较大时，特征值很难计算。我们拟从两个方面对传输特征值问题的数值计算展开研究：一，利用相关的推广的特征值问题构造出根为传输特征值的函数，进而用迭代方法求出这个函数的根，并证明此方法的收敛性；二，将原问题转化为等价的齐次边界积分方程组，并证明边界积分算子解析地依赖于波数，进而证明特征值是一个离散集，最后用边界元方法进行数值求解。本项目的研究可以为其他特征值问题的研究，如弹性波、电磁波散射中的传输特征值问题，提供新的思路和有效的算法工具。

本项目主要研究了传输特征值问题的数值方法。首先，我们考虑弹性波传输特征值问题，提出了一种基于C0拉格朗日元的内部惩罚间断伽辽金方法计算弹性特征值，并证明了其最优收敛阶。与经典的协调有限元方法相比，间断伽辽金法的数值实现更简单，而且实特征值和复数特征值都能用此数值方法来求出。第二，本项目利用边界积分算子定义声波的Dirichlet-to-Neumann(DtN)算子，研究用人工边界法将声波传输问题转化为等价的有界非局部边值问题，并基于DtN算子的性质证明相应的变分问题解的存在唯一性。此方法对人工边界的形状没有要求，只需要边界充分光滑。第三，为了更好地研究传输特征值问题的数值方法，我们又分别对两类高振荡型奇异积分和近奇异积分的数值计算方法进行了研究。最后，我们也研究了求解带有阻尼的Navier-Stokes方程的混合有限元方法和带有阻尼的瞬态Stokes方程的超收敛和超逼近性质，并用数值算例验证了理论分析的正确性。