多目标分段线性分式规划的若干问题研究

In this project we study the following issues in multi-objective piecewise linear fractional programs: (1) We investigate the structures and properties of (weak) efficient solution sets of multi-objective piecewise linear fractional programs. (2) We study proper efficient solutions of multi-objective piecewise linear fractional programs by deriving some criteria for proper efficient solutions and discussing relations between the proper efficient solution set and the efficient solution set. (3) We attempt to establish sensitivity analysis in multi-objective piecewise linear fractional programs by investigating the differentiable selection of the solution map for a parametric multi-objective piecewise linear fractional program with smooth data depending upon a parameter. (4) We study the weak sharp solution and its stability in multi-objective piecewise linear fractional programs. (5) We develop methods to locate the set of part or all solutions of the multi-objective piecewise linear fractional program. The study on this project is important because it yields not only new theories and methods for multi-objective programs, but also provides tools for solving practical problems arising in financial planning, production planning, corporate planning, etc.

本项目对多目标分段线性分式规划中的如下几个问题进行研究:(1) 研究多目标分段线性分式规划的(弱)有效解集的结构和性质；（2）研究多目标分段线性分式规划的真有效解，给出其真有效解的刻画条件，讨论真有效解集与有效解集之间的关系；（3）研究数据是参数的光滑函数时，参数多目标分段线性分式规划的解映像的可微选择，从而建立多目标分段线性分式规划的灵敏性分析；（4）研究多目标分段线性分式规划的弱尖极小解性质以及弱尖极小解性质的稳定性；（5）研究求解多目标分段线性分式规划部分或全部解的迭代算法。这些问题的研究不仅可以丰富和发展多目标规划的理论、方法与技巧，而且可以为产生于财务管理、生产规划以及企业策划等领域中的大量决策问题的解决提供重要的理论依据，对学科和国民经济发展都有重要意义。

通过本项目的实施，我们在多目标分段线性分式规划的算法研究、线性分式规划与伪线性规划的解集的结构和灵敏性分析研究、多目标规划（包含向量变分不等式、向量均衡以及集合优化等）的适定性以及稳定性研究、分裂问题的适定性研究等领域取得进展。（I）我们结合PL-单纯形算法和权重和方法的思想，提出了一类求解二目标可分凸分段线性规划的参数PL-单纯形算法，此算法不但能有效求解出二目标可分凸分段线性规划，而且可对参数空间进行有效的分解。（II）我们利用参数凸多面体的光滑表示技术研究参数线性分式规划的解集结构与灵敏性分析，证明了当数据是参数的光滑函数时，线性分式规划的解集可局部表示为光滑的顶点函数和方向函数有限生成的凸多面体，从而获得其解映像具有光滑选择。我们进一步证明了当数据是参数的光滑函数时，参数伪线性规划的解集具有局部光滑表示。（III）我们研究了集值多目标规划Zolezzi意义下的逐点适定性，在锥半连续性和锥凸性条件下建立了集值多目标规划的逐点上适定性和下适定性。（IV）我们研究向量均衡、不动点问题以及集合优化等问题的稳定性，在适当的条件下建立了这些问题解映像的上、下半连续性。（V）我们研究了分裂变分不等式、分裂逆变分不等式以及分裂最小值问题的适定性，给出了这些问题适定性的刻画。这些工作即可推动多目标规划等问题的发展，又具有潜在的应用价值。