构造保持随机微分方程不变量的数值方法

Stochastic differential equation, as a kind of model subjected to external white noise, is widely used in the field of population dynamics, economics, control engineering, neural network, etc. Most of nonlinear stochastic differential equation is unable to obtain the exact solution, so its numerical implementation is very necessary. In the construction of numerical method for stochastic differential equaion, it is usually required that the discrete scheme can inherit certain structure of the underlying stochastic differential equaion. Lots of numerical experiments demonstrate significant superiority of those numerical methods to general-purpose ones in very long-time numerical simulation. This project mainly aims to construct some high accuracy, high efficiency numerical methods which can preserve the invariant of the original stochastic differential equation. The project involves some new subjects, and its research results not only rich the connotation of the numerical analysis of stochastic differential equation in theory, but also have the very good application prospect in practice.

作为遭受外界白噪声影响的一种数学模型——随机微分方程，广泛应用于种群动力学、金融经济学、控制工程、神经网络等科学研究领域。大多数非线性随机微分方程无法求得精确解的表达式，因而其数值实现是十分必要的。在构造数值方法时，所构造的离散格式要尽可能地保持原系统的特有结构，这对原系统进行长时间数值模拟是不可或缺的。本项目即以此为视角，对几类具有不变量的随机微分方程构造高精度、高效的保不变量数值方法。本项目涉及到一些新的课题，其研究成果不仅从理论上丰富了随机微分方程数值分析的内涵，同时在实践中具有很好的应用前景。

本项目主要针对随机微分方程和分数阶微分方程构造高精度、高效的数值方法，详细分析数值方法保持原系统内在几何性质的能力，并为系统的长时间数值仿真提供全局图像。具体内容包括：（1）针对具有不变量的随机微分方程，构造了几类可以保持其不变量的数值方法，如含参数的随机 Runge-Kutta 方法、连续极值随机 Runge-Kutta 方法等；（2）针对随机 Hamilton 系统以及带阻尼项的随机 Hamilton 系统，分别构造了可以保持其辛结构和共形辛结构的数值方法；（3）针对非全局 Lipschitz 系数和超线性增长系数的随机微分方程，构造了收敛的显式投影的 Itô-Taylor 方法；（4）对几类分数阶微分方程，构造了有效的数值方法；（5）对几类具有实际应用背景的大型复杂系统进行定性分析，并建立相应的数值方法来验证其理论结果的正确性。对每一种数值方法，不仅从理论上分析其收敛性、保结构性等，而且利用大量具有实际应用背景的例子进行仿真，验证数值方法的有效性。本项目的研究成果不仅从理论上丰富了随机微分方程数值分析的内涵，同时在实践中具有很好的应用前景。